Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
3. Обобщенные однородные функции степени — п. Рассмотрим (обычную) формально однородную функцию Ф (х) =
== Ф (jc-!, х2.....хп), не обязательно знакоположительную,
степени — п, с особенностью (т. е. с точкой локальной неинтегрируемости) только в начале координат. Чтобы определить соответствующую обобщенную функцию и тем самым регуляризовать расходящийся интеграл
J* Ф (х) ср (х) dx,
выберем произвольную область G, содержащую начало координат, и положим
J Ф (х) ср (х) dx =
== J* Ф (X) [ср (X) — ср (0)] dX Н- J" Ф (X) ср (X) dx. (1)
в R-G
Определенное таким образом регуляризованное значение интеграла
j Ф (х) ср (х) dx
зависит, естественно, от выбора области G. Обозначим полученную обобщенную функцию символом Ф |с и выясним, что происходит с этой функцией при замене области G другой областью Gt. Непосредственно очевидно, что заменяя
378 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
G на Gi a G, мы получим значение функционала, отличающееся на
<р(0) j Ф(х)йх
G — Gi
от исходного. Таким образом,
ф1о— ф101 = *(*) / <b(.x)dx. (2)
Так как из формулы (2) следует, что разность обобщенных функций Ф \в и Ф lGi есть однородная обобщенная функция порядка — п, то однородность или неоднородность обобщенной функции, определенной формулой (1), не зависит от выбора области О.
Теперь нас интересует вопрос, когда обобщенная функция, определенная формулой (1), будет однородной, степени —п, т. е когда выполняется условие
(ф. ?(т)) = (ф' *)•
Прежде чем проводить вычисление, сравним формулу (1) этого пункта • с формулой (5) п. 2. Если в первую из этих формул подставить" Ф == f~n, где f(x)—положительная однородная функция первой степени, то получится формула
(5) п. 2, в которой интеграл J/-п(х)са, т. е. вычет функ-
г
ции f~n(x), заменен нулем. С другой стороны, обращение в нуль этого вычета необходимо и достаточно для того, чтобы обобщенная аналитическая функция /х (лг) не имела полюса при Х=— п, т. е., как мы отмечали в п. 2, для того, чтобы формула (5) п. 2 определяла при Х = — п обобщенную однородную функцию степени —п.
Сейчас мы покажем, что в общем случае для того, чтобы обобщенная функция (1) была однородной степени — п, необходимо и достаточно аналогичное условие.
Сделав в интеграле
J ф W [? (т) —.<Р <°)] dx -Ь f Ф (х) ср (?) dx
О R — Q
3] § 3. однородные функции 379
замену переменных ~ = х'к и обозначив через aG область,
получаемую из области G подобным преобразованием с коэффициентом а, будем иметь:
У Ф(х) — cp(0)]dx-h / =
о й-о
=f<S(x) [? (х)—ср (0)] dx-)- J Ф (jc) ср (х) dx+cp (0) У Ф (х) dx.
а в-о о-«о
Очевидно, что для однородности обобщенной функции J Ф (х) ср (х) dx необходимо и достаточно, чтобы
J* Ф (х) dx = 0
О-аО
для любого а.
Преобразуем это условие. Для этого введем в области G — aG систему координат р, их, ип_х, где р = 1 и
р = сс— уравнения поверхностей Г и аГ соответственно, a их, и2, .... ип_х координаты на поверхностях р = const.
Обозначим хк = рх?. Тогда
/ х^ х2 • . . хп \ dxx ... dxn = D[ )dPdux . . . dun_x =
\ p ux . . . un_xj
= р»-1 dp(x[ rfx'2 ... dx'n— x2dx[dxfs . .. dx'n-{- .. .
... ±x'ndx\ ... dX^^p^dpo),
где дифференциальная форма со рассматривается на поверхности р=1. С другой стороны, Ф (х) = р-га Ф (х'). Поэтому
а
J <S(x)dx = f^Jф(x)ы = In а У Ф(х)со. (3)
О-аО 1 Р Г Г
Таким образом, необходимое и достаточное условие того, чтобы регуляризованное значение (1) интеграла от формально однородной функции Ф (хй, ..., хп), т. е. обобщенная функция Ф \Q, представляло собой однородную
обобщенную функцию степени — п, состоит в следующем
J* ф о) = 0, (4)
380 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Если это условие не выполнено, то функция Ф \Q является
не однородной, а присоединенной обобщенной функцией.
Интеграл в формуле (4) мы будем называть вычетом функции Ф (х) относительно начала координат (это —-обобщение определения, данного в п. 3). Таким образом, для того чтобы обобщенная функция (1) была однородной, степени —п, необходимо и достаточно, чтобы вычет функции Ф (х) относительно начала координат равнялся нулю.
Дифференцирование однородных функций степени —п-\-1. Мы неоднократно встречались уже в гл. I с такой ситуацией, когда обычная локально интегрируемая функция / имеет всюду, за исключением отдельных точек, обычную производную, но эта производная уже не является локально интегрируемой функцией (так что правильнее называть ее формальной производной). При этом нам недоставало автоматизма при подсчете производных в обобщенном смысле от функции /, и каждый раз приходилось проводить специальные рассмотрения. Например, в п. 3
§ 2 гл. I при подсчете оператора Лапласа от -у в трехмерном пространстве по существу пришлось повторить обычное классическое рассуждение с вырезанием окрестности нуля и применением формулы Грина. Такой автоматизм в известной степени вносится следующей формулой, которую мы сейчас докажем. Пусть Ф — обычная локально интегрируемая функция степени —n-j-l. Тогда
