Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 98

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 125 >> Следующая


?+х

1 /п

(Q + Ю)2 ^2 +Х) (О— Ю)2

имеют полюсы при целых значениях X.

Кп _л [с«? + /0)Т] Обобщенная функция -

1 /71

1 /п

определяется

следующим разложением: *п [с «? + Ю)?]

X

X

(—2Х—п+2яг у) «? + *»

— x—

т=-0

mir^-X-y + m+l)

i m!r(x + y+OT+l)

(1)

Но согласно п. 4 обобщенная функция (Q-f-/0)x имеет

при Х =--^ — & полюс с вычетом *)

выч. ъ+т=€^щ[ j

1

*) Дискриминант формы Q равен -д-, где Д — дискриминант формы Р.

362 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10

Кп [с(С?+Ю)а]

2-+х

Поэтому обобщенная функция----—-- имеет при

X = s, s > 0 полюс с вычетом

Кп [с«? + Ю)?]

выч

2+Х

х=* т(т+х)

7и = 0

где положено

п

<Эа,;

г, 4=1

(при вычислении вычета мы воспользовались известным соотношением Г(л-)Г(1 —а') = -т—-—|.

Найдем теперь правильную часть обобщенной функции

Кп [с «2 + й»"]

¦-—^—-- при X = s. Это легко сделать, если п —

(Q + Ю)2 (2+Х)

нечетное число. В этом случае правильная часть обобщен-Кп [«(О + Л)т]

2+Х

ной функции --—-- при X = s является суммой

((? + ю)? (?+х)

10] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 363

двух слагаемых. Первое из них выражается рядом (1) при

п

-s-T+m

Х=5, в котором под (Q-f-J'O) " а' при т ^ s понимается значение правильной части обобщенной функции (Q-\—iO)x

s

при X — — s — ^-\—т. Второе слагаемое имеет вид ^ &т$т>

т=о

где

ат =выч. (Q + /0)\

-1Г (с\* (ml) \2)

2

d_ Ш



К.

Эту правильную часть мы обозначим через-

га 1+*

[с«?+Ю)2]

(<? + Ю)2 ^2 ' Несколько сложнее обстоит дело при четных значениях п *). В этом случае определим обобщенную функцию

t [c(Q + /0)a]

(Q+Ю)

i_ / га

/га \

*) Разложение (1), определяющее обобщенную функцию

i+x

[c(Q+./0)a]

(Q +

1_ /и

з

, теряет при этом смысл.

364 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10

т

П 1

где у — постоянная Эйлера, a hm — ^У] —

г=1

Как и выше, здесь под (Q + /0) т, /и^--^-, понимается правильная часть обобщенной функции (Q-\— iO)x приХ =— т.

Кп [с (Q + Ю)?]

"a +s

Обобщенная функция --—--равна значению пра-

(Q+Ю)2 ^+ *

К,

п [c(Q + /0)a]

вильной части обобщенной функции t

(Q + Ю)2 (Т+Х)

при X = s.

Рассмотрим теперь обобщенную функцию

[с (Q + Ю)2]

при целых отрицательных значениях X, Х== — В этом

как сумму двух слагаемых, из которых одно опять равно s

"S ат$т.' а второе есть сумма ряда

771 = 0

/„ [с(С? + Ю)?]

п —+s

m=i ту-

и со ^ га Н- ^тга

10] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 365

К.

случае она равна

п [с (Q + Ю)2] а"*

— (—— \

, где при нечетном зна-

К

п [c(Q + /0)2]

чении п обобщенная функция

— (—— \ (О + Я)2 ^

определяется

рядом (1), а при четном значении п — рядом (3).

Аналогичные утверждения справедливы и для функции

Кп [с (О - Ю)т]

(Q — /0)2 / функции при X = 5 равен

с той лишь разницей, что вычет этой

[с (Q — Ю) 2 ]

выч.

Х=5

АГЯ U(Q —Д>)'

-»5'т(т)

га т«7г

-2щ

то=0

4m/n! (s — т) !

(5)

Мы можем теперь перейти к рассмотрению обобщенных F[(c* + P)\] F[(c*+P)x__] функций —и —r (X 4 1) ПРИ целых значениях А.

Если Х = — 5, где 5 — целое положительное число, то левая часть равенства (3) из п. 9 обращается в Поэтому из формулы (3) п. 9 следует, что

1

га

2?"

тс

п . га

X

X 11п

Кп c{Q-iO)-

кп L(Q + /0)2]

(Q-Ю)

1 /и ч

1 /га

(Q 4 /0)'

(6)

366 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10

У|Д|

X

„Кп [c(Q-/0)a] .Кп [с (Q + Ю)2]

--" Т~ а

-1—z--г~е ---------;-

(Q — Ю)2 V3 > (Q+Ю)2 ^a '

(7)

Рассмотрим теперь целые положительные значения s. Имеет место формула

Кп [c(Q + /0)?] Кп [c(Q + /0)a]

1 (IL+x \ X —s 1 2 (- + s\ '

(Q + Ю)2 ^а ' (Q + iO)3^a i

где через сх обозначен вычет обобщенной функции

п [с (Q + Ю)2]

(Q + Ю)2 ^ 2 >

в точке X = s, а невыписанные члены стремятся к нулю при X —> s. Аналогично,

Кп [ciQ-iO)1*] Кп [с «?-*))>]

(Q-Ю)2^2 > (Q-Ю)2^3 '

где c2 — вычет обобщенной функции

[с (Q — Ю)"]

(Q - Ю)

в точке X = s.

1 /п ,\

В частности, имеет место формула

11

§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ

367

Подставляя эти разложения в формулы (3) и (4) из п. 9 и переходя к пределу при X-^-s, мы получаем:

п п п F[(c* + P)i.)_ i-2 ?*?_ с?+"

X

г(*+1) у~щ

2 2_

X

л Km

[с (Q + Ю)2]

^ v» uc(Q + /0)' „ а 2

1 /п i \

Т.(» + *)

(Q-Ю)

(Q + ю)

(8)

Г (s+1)

X

[c(Q —Ю)2]

а 2

с (Q + Ю)

(Q — Ю) 2 ^2 '

+ (2.)»2<"')"^)

(0 + Я)

2s—2т

1 /« , \

"Г"

4TOm! (s — /и) 1.

Lm5(*)- (9)
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed