Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
?+х
1 /п
(Q + Ю)2 ^2 +Х) (О— Ю)2
имеют полюсы при целых значениях X.
Кп _л [с«? + /0)Т] Обобщенная функция -
1 /71
1 /п
определяется
следующим разложением: *п [с «? + Ю)?]
X
X
(—2Х—п+2яг у) «? + *»
— x—
т=-0
mir^-X-y + m+l)
i m!r(x + y+OT+l)
(1)
Но согласно п. 4 обобщенная функция (Q-f-/0)x имеет
при Х =--^ — & полюс с вычетом *)
выч. ъ+т=€^щ[ j
1
*) Дискриминант формы Q равен -д-, где Д — дискриминант формы Р.
362 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
Кп [с(С?+Ю)а]
2-+х
Поэтому обобщенная функция----—-- имеет при
X = s, s > 0 полюс с вычетом
Кп [с«? + Ю)?]
выч
2+Х
х=* т(т+х)
7и = 0
где положено
п
<Эа,;
г, 4=1
(при вычислении вычета мы воспользовались известным соотношением Г(л-)Г(1 —а') = -т—-—|.
Найдем теперь правильную часть обобщенной функции
Кп [с «2 + й»"]
¦-—^—-- при X = s. Это легко сделать, если п —
(Q + Ю)2 (2+Х)
нечетное число. В этом случае правильная часть обобщен-Кп [«(О + Л)т]
2+Х
ной функции --—-- при X = s является суммой
((? + ю)? (?+х)
10] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 363
двух слагаемых. Первое из них выражается рядом (1) при
п
-s-T+m
Х=5, в котором под (Q-f-J'O) " а' при т ^ s понимается значение правильной части обобщенной функции (Q-\—iO)x
s
при X — — s — ^-\—т. Второе слагаемое имеет вид ^ &т$т>
т=о
где
ат =выч. (Q + /0)\
-1Г (с\* (ml) \2)
2
d_ Ш
(Г
К.
Эту правильную часть мы обозначим через-
га 1+*
[с«?+Ю)2]
(<? + Ю)2 ^2 ' Несколько сложнее обстоит дело при четных значениях п *). В этом случае определим обобщенную функцию
t [c(Q + /0)a]
(Q+Ю)
i_ / га
/га \
*) Разложение (1), определяющее обобщенную функцию
i+x
[c(Q+./0)a]
(Q +
1_ /и
з
, теряет при этом смысл.
364 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
т
П 1
где у — постоянная Эйлера, a hm — ^У] —
г=1
Как и выше, здесь под (Q + /0) т, /и^--^-, понимается правильная часть обобщенной функции (Q-\— iO)x приХ =— т.
Кп [с (Q + Ю)?]
"a +s
Обобщенная функция --—--равна значению пра-
(Q+Ю)2 ^+ *
К,
п [c(Q + /0)a]
вильной части обобщенной функции t
(Q + Ю)2 (Т+Х)
при X = s.
Рассмотрим теперь обобщенную функцию
[с (Q + Ю)2]
при целых отрицательных значениях X, Х== — В этом
как сумму двух слагаемых, из которых одно опять равно s
"S ат$т.' а второе есть сумма ряда
771 = 0
/„ [с(С? + Ю)?]
п —+s
m=i ту-
и со ^ га Н- ^тга
10] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 365
К.
случае она равна
п [с (Q + Ю)2] а"*
— (—— \
, где при нечетном зна-
К
п [c(Q + /0)2]
чении п обобщенная функция
— (—— \ (О + Я)2 ^
определяется
рядом (1), а при четном значении п — рядом (3).
Аналогичные утверждения справедливы и для функции
Кп [с (О - Ю)т]
(Q — /0)2 / функции при X = 5 равен
с той лишь разницей, что вычет этой
[с (Q — Ю) 2 ]
выч.
Х=5
АГЯ U(Q —Д>)'
-»5'т(т)
га т«7г
-2щ
то=0
4m/n! (s — т) !
(5)
Мы можем теперь перейти к рассмотрению обобщенных F[(c* + P)\] F[(c*+P)x__] функций —и —r (X 4 1) ПРИ целых значениях А.
Если Х = — 5, где 5 — целое положительное число, то левая часть равенства (3) из п. 9 обращается в Поэтому из формулы (3) п. 9 следует, что
1
га
2?"
тс
п . га
X
X 11п
Кп c{Q-iO)-
кп L(Q + /0)2]
(Q-Ю)
1 /и ч
1 /га
(Q 4 /0)'
(6)
366 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
У|Д|
X
„Кп [c(Q-/0)a] .Кп [с (Q + Ю)2]
--" Т~ а
-1—z--г~е ---------;-
(Q — Ю)2 V3 > (Q+Ю)2 ^a '
(7)
Рассмотрим теперь целые положительные значения s. Имеет место формула
Кп [c(Q + /0)?] Кп [c(Q + /0)a]
1 (IL+x \ X —s 1 2 (- + s\ '
(Q + Ю)2 ^а ' (Q + iO)3^a i
где через сх обозначен вычет обобщенной функции
п [с (Q + Ю)2]
(Q + Ю)2 ^ 2 >
в точке X = s, а невыписанные члены стремятся к нулю при X —> s. Аналогично,
Кп [ciQ-iO)1*] Кп [с «?-*))>]
(Q-Ю)2^2 > (Q-Ю)2^3 '
где c2 — вычет обобщенной функции
[с (Q — Ю)"]
(Q - Ю)
в точке X = s.
1 /п ,\
В частности, имеет место формула
11
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
367
Подставляя эти разложения в формулы (3) и (4) из п. 9 и переходя к пределу при X-^-s, мы получаем:
п п п F[(c* + P)i.)_ i-2 ?*?_ с?+"
X
г(*+1) у~щ
2 2_
X
л Km
[с (Q + Ю)2]
^ v» uc(Q + /0)' „ а 2
1 /п i \
Т.(» + *)
(Q-Ю)
(Q + ю)
(8)
Г (s+1)
X
[c(Q —Ю)2]
а 2
с (Q + Ю)
(Q — Ю) 2 ^2 '
+ (2.)»2<"')"^)
(0 + Я)
2s—2т
1 /« , \
"Г"
4TOm! (s — /и) 1.
Lm5(*)- (9)