Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Из формул (8) и (9) следует, что
<-1Г(т)
2s—%т
/я=0
4m/n! (s — т) !
Lm8 (*}. (10)
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение. Мы встречались уже с различными типами обобщенных однородных функций в главе I (§ 3—4), а также в § 2 этой главы. В этом параграфе мы рассмотрим произвольные обобщенные однородные функции любой степени в «-мерном пространстве.
Напомним, что обобщенная функция /(лг) = f(xu . . ., хп) называется однородной функцией степени X, если при любом ос > 0
f(axu----ахп) = ocx/Oi» ¦ • хп)
(1)
366 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
я-1
F[b(c*-\-P)] = — -^(2кс)ь X У I д Г
X
^ I (Q -Ю)^] ^ I (Q + Ю)2]
(Q — Ю)2 ^2 ' ¦ (Q+Ю)3 ^а '
(7)
Рассмотрим теперь целые положительные значения s. Имеет место формула
Кп [с (Q + Ю)1*] Кп [с (Q + Ю)3]
р - ^ - • - - - 7t
(Q + Ю)2 ^ > (Q + Ю)2 ^2+ J
где через cx обозначен вычет обобщенной функции
Кп [с (Q + Ю)2]
?+х_
1 /га \
(Q + Ю)^^)
в точке X = s, а невыписанные члены стремятся к нулю при X—>s. Аналогично,
/<„ L(Q-iO)T] Кп [«(С? — *))"5]
"2+х с, , ,
(Q-Ю)2^2 ^ «?-*»»
где с2 — вычет обобщенной функции
<п [с (Q - Ю)?]
(Q - Ю)
в точке X = '$,
1 /П ,\
-w0.2 (2 + л)
В частности, имеет место формула
1]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
367
Подставляя эти разложения в формулы (3) и (4) из п. 9 и переходя к пределу при X—>s, мы получаем:
П П 11
F [(с» + РУ_] _ t. 2S+c^S
Г(в+1)
У1Д|
X
X
LcCQ+Ю)
--hi
а а
(Q-Ю)
1 /П \
(Q.+ '0)
_1 /П
2
/ га \ +
(8)
Г7 Г(С2 -f
r(s+i) l} lz
:п [c«?-/o)»]
гага га
X
с (Q + Ю)
((? — Ю)
1 /га ч
. 2s—2т
s (—\)т (~\
от-0
4TOm! (s — /и)!
Из формул (8) и (9) следует, что
2j—2/я
Г (s + 1) 4 4™m! (S _ т) !
/72 =0
Lmb(x). (10)
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение. Мы встречались уже с различными типами обобщенных однородных функций в главе I (§ 3—4), а также в § 2 этой главы. В этом параграфе мы рассмотрим произвольные обобщенные однородные функции любой степени в я-мерном пространстве.
Напомним, что обобщенная функция /(х) = f(xt, .. ., хп) называется однородной функцией степени X, если при любом а >¦ 0
/(**!.....ал-эт) =ocVOi.....хп) (1)
368 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
fl
или, что то же,
.....5)) = аХ+П (/> ?(XlХп))- (2)
В частности, обычной непрерывной при х Ф О однородной функции f(x) степени X с Re X >—п соответствует обобщенная функция
(/. ?) = J7o)cpO)dx,
которая также является однородной функцией степени X. Если же f(x) обычная однородная функция степени X с Re X ^ — п, то ее особенность в начале координат не интегрируема, и вопрос о том, можно ли этой функции сопоставить ее регуляризацию, которая была бы также однородной функцией степени X, требует специального рассмотрения. Подчеркивая это, мы будем называть такую (обычную) функцию f(x) формально однородной.
Нам понадобится в дальнейшем следующее свойство, характеризующее обобщенные однородные функции степени X.
Для того чтобы, обобщенная функция f была однородной степени X, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению Эйлера
Доказательство. Заметим прежде всего, что в применении к любой основной функции ср (х) это уравнение записывается в виде
-(/•|^)=М/.т).
т. е.
- 2х* = (Х+п) и-9) - (4)
Пусть обобщенная функция /—однородная степени X:
(/. ч (т.....it) ) = аХ+п V- * ......х^ >•
2]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
369
Продифференцируем это равенство по а. При этом слева, как нетрудно проверить, операция дифференцирования переносится на основную функцию, и мы получаем:
.....?))=
= (Х + я)^+»-1 (/, Ч(хи .... хя)).
Остается положить ос=1, чтобы прийти к равенству (4).
Обратно, пусть обобщенная функция / удовлетворяет уравнению (4). Рассмотрим дробь
Mv.....Ч))
при а > 0. Дифференцируя ее по ос, из условия (4) получаем, что производная равна нулю. Значит,
= const = </-?<^ *»»
а\+п 1
т. е. / — однородная функция степени X.
2. Положительные однородные функции нескольких независимых переменных. Рассмотрим непрерывную однородную функцию первой степени от xlt х2, .... хп, положительную во всем пространстве, за исключением начала
координат; например, г = V х\-{- х\ -\— ... -\-х„ или во-
обще Р2т (хх, х2, хп), где Р (х1( х2, хп)— поло-
жительно определенная форма степени 2т. Обозначим эту функцию через f(xux2, хп) и для Re X >— п рас-
смотрим обобщенную функцию
(/*(*). ?(*)) =(1)
Здесь ср(х) = ср(лгц х2, .... х„), как обычно,—основная (т. е. финитная бесконечно дифференцируемая) функция. Легко проверить, что для тех X, для которых интеграл сходится, формула (1) определяет однородную обобщенную функцию степени X, аналитически зависящую от X. Покажем, что обобщенная функция /х допускает аналитическое
