Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 107

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 125 >> Следующая


когда поверхность G (xlt . . ., хп) = 0 состоит из точек 1-го порядка, полностью аналогичен случаю одной независимой переменной.

3. Исследование обобщенной функции Gx в случае, когда поверхность G(xx, .... хп) = 0 состоит из точек не выше 2-го порядка. Предположим теперь, что поверхность G(xx, .... хп) = 0 состоит из приводимых точек не выше 2-го порядка. Каждая достаточно малая окрестность точки 1-го порядка этой поверхности порождает у обобщенной функции Gx(xx.....хп), действующей по формуле

(G\ ср) = J* . .. j Gx (хх, .... xn) ср (xu . . ., xn) dxx ... dxn,

G>0

последовательность полюсов, рассмотренную в п. 2. Нам осталось, следовательно, выяснить, как влияют на поведение этого функционала, как функции от X, приводимые точки. 2-го порядка (это, естественно, особые точки поверхности

G(xls----хп) = 0).

Мы докажем, что окрестность каждой точка М 2-го порядка и степени т порождает у обобщенной функции Gx(xx, хп) последовательность полюсов

х = —2-, - —, .... ... (D

mm т

При этом сколь угодно малая окрестность точки 2-го порядка, вообще говоря, содержит точки 1-го порядка и, может быть, различных степеней. Если какое-либо значение X = Х0 принадлежит одновременно последовательности (1) и одной или нескольким последователь-

3}

§ 4. произвольные функции в степени X 397

ностям, относящимся к точкам 1-го порядка, попадающим в любую окрестность точки М, т. е. точкам 1-го порядка, инцидентным точке М, то при Х. = Х0 обобщенная функция Gx(xu хп) имеет полюс 2-го порядка. Для доказательства возьмем в интеграле

f ... fGx(xu----*„)<pOi.....xn)dxx

dxn

<?> 0.

функцию ср отличной от нуля только в малой окрестности точки М и выберем локальную систему координат iu %п в этой окрестности. Так как М — точка 2-го порядка, то эту локальную систему координат можно выбрать так, что функция G в новых координатах обращается в однородную функцию Р от переменных ^ и у и мы приходим, таким образом, к задаче об изучении функционалов

j ... fpx (У У Tl (У .... K)Dr,y' \ *)<Ку.d^ ¦ • • d*n>

р > о Ч 1 • • • я /

(2)

где срг(У .... ^ == ср (jc-j, хп). Положим

<КУ У = тЧ&. ^)°(^'.' ^

(3)

Тогда интеграл (2) превращается в интеграл

/]>Ч^УФ(У У^У (4)

р>о

где Р (У У — однородная функция двух переменных степени от, а ф (У У — основная функция, отличная от нуля только в малой окрестности начала координат.

Итак, аналогично тому, как изучение Gx в окрестности точки 1-го порядка сводится к изучению однородных функций от одной независимой переменной, изучение Gk в окрестности точки 2-го порядка сводится 1к изучению произвольных однородных функций от двух переменных.

Приводимая точка 2-го порядка кривой Р (У у==0 есть изолированная особая точка кривой или точка пересечения

398 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3

ветвей с различными касательными (черт. 7). Для исследования интеграла (4) при тех значениях X, при которых обеспечена сходимость, перейдем к полярной системе координат (г, и) *) и, пользуясь однородностью, запишем

интеграл (G\ ср) = j Jpx(Zu S2> Ф (^х. Ь%)&хсКг в виде

Р>0

со

(G\ <р) = fr**"+*dr f px(Jt, а1)Ф(^, 5а) d«, (5)

о

где ^ = гХх, Ь2 = г%2, = Хк (и) — координаты точки на кривой г — const.

Черт. 7.

Рассмотрим теперь вспомогательный функционал, зависящий от двух не связанных между собой комплексных параметров X и р.:

К tiM = / ^ dr f Рх ?, 12) Ф 5g) da. (6)

Очевидно, что при ^ = Хте-(-1 интеграл (6) обращается в (5), и нам достаточно исследовать /х, рЛф]. Имеет место следующая лемма:

Пусть заданы мероморфная функция двух комплексных, переменных F (X, ja) и две последовательности чисел

*-1> ^2.....^и> • • • • (7)

P-i. t*2. • ¦ v fti..... (8)

*) Вместо полярной системы координат можно взять любую криволинейную систему, в которой координатные линии г = const охватывают начало координат.

3] § 4. произвольные функции в степени X . 399

Пусть F (к, (j.) имеет как функция от X при любом фиксированном ji =f= простые полюсы в точках последовательности (7), причем в лорановском разложении в окрестности каждого такого полюса

F(k, ^)==-ibl^.-r-Cb(li)-f.Cl(li)(X —XJ-4- ...

коэффициенты с_1((х), c0(ji), ... являются мероморф-ными функциями от р., имеющими простые полюсы в точках последовательности (8).

Тогда аналитическая функция от одной переменной F (X, X) имеет полюсы в точках обеих последовательностей (7) и (8). Если при этом значение Xq принадлежит одновременно обеим последовательностям, то при k = k0 F (X, X) имеет полюс 2-го порядка с коэффициентом при

1

"(X — x р 8 лоРано8ском разложении, равным вычету при ji^Xq коэффициента c_x(ji).

Доказательство леммы непосредственно вытекает из разложения функции F (k, ji) в ряд Лорана по двум переменным в окрестности точки (кп, ]хт).

Найдем теперь полюсы функции двух комплексных переменных, задаваемой интегралом (6). Обозначим интеграл по du в этой формуле через А (г), т. е. положим

А (г) = f Рх (У У Ф (У У du (9)
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed