Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
вима в виде конечной суммы ср(х) = 2тЧ(х) основных функций щ, где ср4 равна нулю вне Dit Поэтому там, где это нам понадобится, мы можем считать, что функция у(хх.....хп) отлична от нуля только в сколь угодно малой окрестности интересующей нас точки.
Изучение интеграла.(1), зависящего от одного комплексного параметра, проводится путем рассмотрения вспомогательной функции двух комплексных переменных. Этот прием для простейшего случая изложен в п. 3.
392 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
2. Исследование обобщенной функции Gx в случае, когда поверхность G(xx, хп) = 0 целиком состоит
из точек 1-го порядка. Пусть G (хг.....хп) — бесконечно
дифференцируемая функция, для которой поверхность G = О ограничена и состоит из приводимых точек 1-го порядка.
Рассмотрим функционал, зависящий от X:
(0х, <р) =
= I " I °Х * - -' Хп)<? (Xl' ' " ' Хп) dXl ' - ' dXn' (2)
G>0
При Re X > О этот интеграл сходится и представляет собой аналитическую функцию X. Покажем, что обобщенная функция Ох представляет собой мероморфную функцию X. Каждой связной компоненте многообразия 0 = 0, состоящей из точек степени I, отвечает последовательность простых полюсов
X— 1 2 п
В частности, если на поверхности G = 0 вообще нет особых точек, то Gx имеет полюсы только в точках
Х = — 1, —2.....—п, . . .
Для доказательства этого утверждения выберем произвольную точку М поверхности G = 0. В силу сделанного выше замечания без ограничения общности можно предполагать, что ср (хх.....хп) = 0 вне фиксированной малой
окрестности D точки М. Обозначим через Dx пересечение области D с областью G !>> 0. Тогда
(G\ <р) = J* .. . J Gx (*1.....?(¦»!. • • •. xn)dXl . . . dxn=
G>0
= f •¦ fGx(x1, .... xn)<f(x1.....xn)dxy... dxn.
Так как M — точка 1-го порядка (и.степени /), то мы можем ввести в области Dx систему координат, в которой
2] § 4. произвольные функции в степени А 393
где интеграл вычисляется по пересечению области Dx с поверхностью G (хх.....хп) = ?i = const. Функция ф (^) —
финитная бесконечно дифференцируемая функция от ?х, определенная в области Dx. С помощью этой функции (Gx, ср) перепишется в виде
со
(0х, <р) = /^Ф(50Л,. (5)
о
Вспоминая результаты п. 2 § 3 гл. I о полюсах и вы-
со
четах функционала J* хх ф (х) dx, мы получаем, что каждой о
точке М 1-го порядка и степени I многообразия G = 0 отвечает последовательность полюсов обобщенной функции Gx (хх, . . ., хп)
1 2 п
G (хх.....хп) = %\, а остальные п — 1 координат с]2, . . ., ?и
выбраны произвольными беконечно дифференцируемыми функциями от хи . . ., хп с единственным ограничением, чтобы в Dx выполнялось условие
В новых координатах
.....ХП) = <?1$1.....U
и
394 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
6,-0
где <рх .... ?„) = ср (jq.....л-„). Обозначим через ш дифференциальную форму, стоящую множителем при <рх в интеграле (4):
Тогда вычет можно записать в виде
J ср (jq . . ., хп) ш. (7)
Но
dxx . . . dxn = dv = йЪх о»,
и если положить
01 (xi.....хп)^Р (хи .... хп),
то мы будем иметь:
dv = dP<o.
Вспоминая определение обобщенной функции 3(Р), данное в п. 3 § 1 гл. III, мы видим, что вычет (7) есть не что
иное, как (В (Р), ср). Таким образом, вычет Gx при \ =--\-
раевн Ь
И.
При этом вычет интеграла (5) при Xi =— п, т. е. при
\ = — ~, просто выражается через функцию ф из фор-
ф(»-Ч(0) мулы (4): он равен т^ _ ^.
Найдем теперь вычеты Gx.
Вычет (Gx, ср) при Х = — у равен Ф(0), т. е.
2] § 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 395
Вспоминая определения и формулы п. 5 § 1 гл. III, мы видим, что вычет (Gx, <р) при к — ———- равен
IT / *И?)ЦЦ^(*)(Р),ср). (8)
Таким образом, вычет обобщенной функции Gx при
. А+1
А. =--j— равен
tLjI*8(*)(o7). (9)
В силу замечания, сделанного в п. 1, мы можем теперь
считать основную функцию ср (хх.....хп) отличной от
нуля в любой конечной области. При этом, подсчитывая k-\- 1
вычет при к = —-—, в формулг (8) нужно интегрировать
по тем компонентам поверхности G = 0, которые состоят из точек степени /. Разумеется, если X принадлежит более чем одной последовательности вида (3), то вычет в точке к получается сложением значений, относящихся к соответствующим /,
Найдем дальнейшие вычеты. При этом мы воспользуемся тем, что функцию
<Ш = / • • • /.....[ . . if)*** ' ' '
можно дифференцировать под знаком интеграла. Вычет (Gx, ср) при к — k 1 равен
396 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Отметим, что в случае, когда поверхность G — 0 состоит из точек 1-го порядка и степени /, аналитическая функция Gx имеет полюсы при тех же X, что и обобщенная функция одного переменного (х1)х+ (см. § 3 гл. I). Вычет (х1)х+ при
Х =— k+\ равен L_1L §(*) (jc), а вычет 0х при
Х =— ~f~ равен -~~J^k S(fc)(o; ). Таким образом, случай,
