Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
o'(G) понимается расходящийся интеграл j ши регуляризо-
G=0
ванный так, как указано в фигурных скобках.
Вообще, если G — функция, для которой поверхность G = 0 имеет только приводимые особенности, то разложение обобщенной функции о (G — с) при малых с может служить для определения обобщенных функций 8(G), 8' (G) и т. д. в тех случаях, когда интегралы от соответствующих дифференциальных форм расходятся.
А именно, если
со mk
8(0 — с) = 2 2 T^c^ln^-ic,
ft—1 m=l
где rfc>m—обобщенные функции, такие, что
(afr,m — коэффициенты разложения интеграла 1(c)— J* ср <о
по степеням с и In с (см. формулу (3)), то через 8(G) мы обозначим свободный член этого разложения, через 8' (G)— взятый с обратным знаком коэффициент при первой степени с и т. д. В частности, формула (4) перепишется в виде
8(ху— с) = — 2\п сЬ(х, у) + Ь(х, у)~\- .... (4')
так что *)
ЧхЛ = 1&+*Ж. (6)
*) Эта формула не могла быть получена в § 1, так как там при выводе формулы
b(PQ) = ^ + *J$l (*>
поверхности Р. = 0 и Q—0 предполагались непересекающимися. Однако когда они пересекаются «правильно», т. е. так, что можно взять систему координат иъ___, «„, где «t = Р и ц2 = Q. то формула (*) легко выводится при помощи этих самых координат из формулы (6).
5] § 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 411
В случае, когда поверхность G = 0 не имеет особых точек, такое определение, естественно, совпадает с данным
выше. Действительно, в этом случае интеграл jGxydv
о > о
имеет только простые полюсы Х =—1, —2.....—k, ...
и вычет его при Х =— k равен ^k}}^, (О), поэтому
b(G — с) =
= 8(0) — c8'(G) + f 8" (О) + ••• +Ц^8(*ЧОЧ- ...
Из формулы (4) можно сделать интересный вывод. Продифференцируем равенство (4) по с:
— В' (ху - с) = - -| S (х, у) 4 • • •
Умножив на — си устремив его к нулю, получим: с 5' (ху — с) -> 2 6 (jc, у).
Аналогично, дважды продифференцировав по с равенство (5) и умножив его после этого на с, мы при стремлении с к нулю получим
С 5" (X* 4 у2 4 — *2 — С) bJ^J^ldl .
о
Если применить эти формулы к основной функции ср, то мы сможем вычислить значение функции ср в начале координат, зная ее интегралы по гиперболам ху = с или гиперболоидам х2 4 У2 + + г? — Г* = с.
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫПУСКА 1
Глава I, § 1
1. Основная функция—бесконечно дифференцируемая функция ср(х) = cp(xt, хп), равная нулю вне ограниченной области га-мерного пространства Rn.
2. Основное пространство К—совокупность всех основных функций. Линейные операции в К определяются обычным образом. Последовательность <р„ (х) ? К называется сходящейся к нулю, если функции cpv (х) стремятся к нулю равномерно вместе со всеми производными и обращаются в нуль вне одной и той же ограниченной области.
3. Обобщенная функция— линейный непрерывный функционал на пространстве К.
4. Регулярная обобщенная функция — функционал на К вида
(/. «р) = / /(x)cp(x)dx,
где f(x) — локально интегрируемая функция.
5. Остальные обобщенные функции называются сингулярными.
6. 0 (х)— функция, равная 1 при х>0 и 0 при х<0 (п=1).
7. Дельта-функция 8(х — х0) — сингулярный функционал, действующий по формуле
(8(х —х0), ср (х) ) = ср (х0).
8. Функционал /(х) называется равным нулю в области G, если (/, ср) = 0 для всякой основной функции, равной нулю в такой области Gu что G и Gx покрывают все Rn.
Сводка основных определений и формул вып. 1 413
(/. ?) = С/. ?)•
13. Пространство 5 состоит из бесконечно-дифференцируемых функций ф(Х), удовлетворяющих неравенствам
\х* <p»>(*)|<Cfca (я=1; К q=0, 1, 2, ...)
или, для нескольких переменных,
Vй' dg'+'"+gnT(*i.....хп)
*1 " п .а^...а4-
<с\.-чп
(*!, .... ?я = 0, 1, 2, . . .)
с соответствующей сходимостью.
Глава I, § 2
1. Производная обобщенной функции / по аргументу Xj определяется равенством
(Ms *)=(/¦
2. й'(х) = Ъ(х).
3. ^ln(Jf + i0) = 4- — Zw8W-
9. Носитель функционала / — замкнутое множество, на дополнении которого функционал / равен нулю.
10. Последовательность /„ обобщенных функций называется сходящейся к обобщенной функции /, если для любой ср ? К
lim (/„ ср) = (/, ср).
11. Для комплексных основных и обобщенных функций действия производятся по правилам
а(/. ?) = (/. «Р) = (<*/. <Р). Функционал / типа функции f (х) определяется по формуле
(/. ?) = j f(x)<?(x) dx.
12. Обобщенная функция /, комплексно сопряженная к данной /, определяется формулой
414 Сводка основных определений и формул вып. I
где
(-L, ?(x))=lim f lS*ldx \х I о " х
х\ > S
4. A rn\i = — (п — 2)2та 8(х), где Qn — поверхность единичной сферы в га-мерном пространстве (га >¦ 2).
Д1п= —2и8(х) (га = 2).
5. Если последовательность обобщенных функций /, имеет предел /, то последовательность имеет предел
OJC л
of 3
dxj'
6. ^ cos rax =— у-!-^^8^ — 2тега).
п=1 —со
со со
7. 2 п sin ,гх — —71 2 ^' С-*7 — 2тсга).
п=1 —со
