Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 110

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 125 >> Следующая


г+к

том функции G т . . ., хп) относительно этой ком-

поненты можно понимать обобщенную функцию (функционал), являющуюся вычетом по X аналитической функции

&(хи .... хп) при Х= —

В частности, если G (хи .... jcra) —однородная функция

п+к

степени т, то такой вычет G т (хх.....хп) в начале

координат равен линейной комбинации производных k-ro порядка от 8-функции с коэффициентами, равными интегралам по замкнутой поверхности, окружающей начало координат.

Если G (xlt хп) — произвольная функция, имеющая

в начале координат приводимую особую точку (п — 1)-го

п + к

порядка и степени т, то вычет функции G т (хх> . . ., хп) относительно этой точки также равен линейной комбинации производных от 8-функции не выше k-ro порядка с коэффициентами, определяемыми по функции G. Аналогично можно определить вычет не только относительно точки, но и относительно любой связной компоненты многообразия G = 0 степени т и порядка г.

5]

§4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 407

5. Интегралы от бесконечно дифференцируемой функции ер по поверхностям уровня G(xlt хп) = с. Сделаем из полученных результатов вывод о поведении интегралов от функции <р (xv .... хп) по поверхностям уровня

многочлена G (хх.....хп). Мы ограничимся случаем, когда

поверхность G(xls .... хп) = 0 состоит только из приводимых точек, а поверхность <3 = с при с>0 не имеет особых точек, и рассмотрим интегралы

/(с)= f .....xju>, (1)

в=с

где to — форма на поверхности G (хх.....хп) — с, определенная равенством dv — dG ш. Имеет место очевидное тождество (по X):

со

J* I (с) cxdc = J ... J Gx (Да.....x„) cp(xx.....xn) dxv. . . dxn.

0 G > 0

(2)

Выше мы установили, что интеграл, стоящий в правой (и следовательно, в левой) части равенства, есть мероморф-ная функция X и определили ее полюсы в зависимости от характера особенностей поверхности G(xt.....хга) = 0.

Так как поведение функции 1(c) при с ]> е > 0 не

со

влияет на особенности интеграла J* I(c)cxdc, то, зная эти

о

особенности, мы можем, наоборот, написать асимптотическое разложение функции 1(c) при малых значениях с.

А именно, можно показать, что если расположить по-

со

люсы функции F (X), задаваемой интегралом J I(с) сх dc и

о

его аналитическим продолжением, в порядке их убывания в последовательность

— Xlf — Х2, ; . ., — \ъ . . . (0 < Хг < Х2 < . . . < Хй < . . .)

и обозначить кратность /г-го полюса через тк, то функция / (с) при малых с имеет следующее асимптотическое

408 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5

разложение:

со ™fc

/(«о«2 2<wx*-1inM-1c. (3)

fc = l m—l

Нетрудно убедиться в том, что каждое слагаемое справа

со

дает в интеграле J I (с) сх dc /га-кратный полюс (см. гл. I, о

§ 3). Коэффициент akt т при этом равен коэффициенту

при--- в разложении Лорана для F (к) в окрестности

(X + Хй)т

точки к —— кк, умноженному на ^ _ щ • Вспоминая

определение функции 8 (G), мы можем переписать интеграл 1(c) в виде:

/(с)= J4 ш = (8(0— с), ?).

ff-o

Отсюда следует, что, имея асимптотическое разложение 1(c) в ряд по степеням с, мы имеем тем самым разложение (8 (G — с), ср) по степеням с. Из формулы (3) получается, таким образом, асимптотическое разложение 8 (G — с) при малых с.

Примеры. 1. Пусть G (х, у) — ху. Тогда первый полюс обобщенной функции (ху)х, определенной интегралом

J J (xy)x(f(x, у) dx dy, будет при Х=—1. Разложение интеграла J J (ху)ху(х, у) dx dy по степеням имеет

&у> о

вид

У J (ху)х<?(х, y)dxdy =

СО со

ху>о

2у (0, 0)

(Х+ 1)2

Х+1

5] § 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ л 409

ху=с

асимптотическое разложение:

7(С) = -2Ф(0. 0)1пс+ /ЩЪ*х+ f *^dy+ ....

—со —со

где многоточием заменены члены, стремящиеся к нулю при с->0.

В соответствии со сказанным выше можно получить отсюда разложение по степеням с обобщенной функции Ъ(ху — с). Оно будет иметь следующий вид:

8 (Ху _ с) = - 28 (х, у) In с + (Ш 4-5-^) + о (с). (4)

2. G = x2-\-y2-\~z2—t2. В этом случае интеграл J* J* (х2-{-у2-\-z2 — f2)xcp(jc, у, z, t)dv имеет при Х=—1

(?>0

простой полюс с вычетом 8 (х2 -\-у2 -\-z2 — t2) и при X ——2 полюс 2-го порядка, в окрестности которого этот интеграл допускает следующее разложение:

Я

(?>о

Gx <pdv — —

1 у (0, 0, 0, 0)

8 (X + 2)з

(А.+ 2)

ср(0. 0, 0, 0)ln2-f-

. 8ъ 3

О 1

я

о

ду(г, р)

р-Г

J)

1+

*) При этом, как указывалось выше, можно получить о> =

ау

dx

или ш -

х

ср (х, у) dx

, т. е. рассмотреть интеграл

J У (х.

У) аУ

-f-oo

Интеграл I (с) = J ср (х, у) ш *) допускает, следовательно,

410 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5

Поэтому 8 (G— с) мы можем теперь представить в виде:

8(G — с) = Ъ(0)-{-с\псЪ(х' % *' Q-f-с8^(0)4- •• (5) где G = х2 + _у2 z2 — ?2.

Многоточие здесь заменяет члены порядка о (с), а под
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed