Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
г+к
том функции G т . . ., хп) относительно этой ком-
поненты можно понимать обобщенную функцию (функционал), являющуюся вычетом по X аналитической функции
&(хи .... хп) при Х= —
В частности, если G (хи .... jcra) —однородная функция
п+к
степени т, то такой вычет G т (хх.....хп) в начале
координат равен линейной комбинации производных k-ro порядка от 8-функции с коэффициентами, равными интегралам по замкнутой поверхности, окружающей начало координат.
Если G (xlt хп) — произвольная функция, имеющая
в начале координат приводимую особую точку (п — 1)-го
п + к
порядка и степени т, то вычет функции G т (хх> . . ., хп) относительно этой точки также равен линейной комбинации производных от 8-функции не выше k-ro порядка с коэффициентами, определяемыми по функции G. Аналогично можно определить вычет не только относительно точки, но и относительно любой связной компоненты многообразия G = 0 степени т и порядка г.
5]
§4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 407
5. Интегралы от бесконечно дифференцируемой функции ер по поверхностям уровня G(xlt хп) = с. Сделаем из полученных результатов вывод о поведении интегралов от функции <р (xv .... хп) по поверхностям уровня
многочлена G (хх.....хп). Мы ограничимся случаем, когда
поверхность G(xls .... хп) = 0 состоит только из приводимых точек, а поверхность <3 = с при с>0 не имеет особых точек, и рассмотрим интегралы
/(с)= f .....xju>, (1)
в=с
где to — форма на поверхности G (хх.....хп) — с, определенная равенством dv — dG ш. Имеет место очевидное тождество (по X):
со
J* I (с) cxdc = J ... J Gx (Да.....x„) cp(xx.....xn) dxv. . . dxn.
0 G > 0
(2)
Выше мы установили, что интеграл, стоящий в правой (и следовательно, в левой) части равенства, есть мероморф-ная функция X и определили ее полюсы в зависимости от характера особенностей поверхности G(xt.....хга) = 0.
Так как поведение функции 1(c) при с ]> е > 0 не
со
влияет на особенности интеграла J* I(c)cxdc, то, зная эти
о
особенности, мы можем, наоборот, написать асимптотическое разложение функции 1(c) при малых значениях с.
А именно, можно показать, что если расположить по-
со
люсы функции F (X), задаваемой интегралом J I(с) сх dc и
о
его аналитическим продолжением, в порядке их убывания в последовательность
— Xlf — Х2, ; . ., — \ъ . . . (0 < Хг < Х2 < . . . < Хй < . . .)
и обозначить кратность /г-го полюса через тк, то функция / (с) при малых с имеет следующее асимптотическое
408 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
разложение:
со ™fc
/(«о«2 2<wx*-1inM-1c. (3)
fc = l m—l
Нетрудно убедиться в том, что каждое слагаемое справа
со
дает в интеграле J I (с) сх dc /га-кратный полюс (см. гл. I, о
§ 3). Коэффициент akt т при этом равен коэффициенту
при--- в разложении Лорана для F (к) в окрестности
(X + Хй)т
точки к —— кк, умноженному на ^ _ щ • Вспоминая
определение функции 8 (G), мы можем переписать интеграл 1(c) в виде:
/(с)= J4 ш = (8(0— с), ?).
ff-o
Отсюда следует, что, имея асимптотическое разложение 1(c) в ряд по степеням с, мы имеем тем самым разложение (8 (G — с), ср) по степеням с. Из формулы (3) получается, таким образом, асимптотическое разложение 8 (G — с) при малых с.
Примеры. 1. Пусть G (х, у) — ху. Тогда первый полюс обобщенной функции (ху)х, определенной интегралом
J J (xy)x(f(x, у) dx dy, будет при Х=—1. Разложение интеграла J J (ху)ху(х, у) dx dy по степеням имеет
&у> о
вид
У J (ху)х<?(х, y)dxdy =
СО со
ху>о
2у (0, 0)
(Х+ 1)2
Х+1
5] § 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ л 409
ху=с
асимптотическое разложение:
7(С) = -2Ф(0. 0)1пс+ /ЩЪ*х+ f *^dy+ ....
—со —со
где многоточием заменены члены, стремящиеся к нулю при с->0.
В соответствии со сказанным выше можно получить отсюда разложение по степеням с обобщенной функции Ъ(ху — с). Оно будет иметь следующий вид:
8 (Ху _ с) = - 28 (х, у) In с + (Ш 4-5-^) + о (с). (4)
2. G = x2-\-y2-\~z2—t2. В этом случае интеграл J* J* (х2-{-у2-\-z2 — f2)xcp(jc, у, z, t)dv имеет при Х=—1
(?>0
простой полюс с вычетом 8 (х2 -\-у2 -\-z2 — t2) и при X ——2 полюс 2-го порядка, в окрестности которого этот интеграл допускает следующее разложение:
Я
(?>о
Gx <pdv — —
1 у (0, 0, 0, 0)
8 (X + 2)з
(А.+ 2)
ср(0. 0, 0, 0)ln2-f-
. 8ъ 3
О 1
я
о
ду(г, р)
р-Г
J)
1+
*) При этом, как указывалось выше, можно получить о> =
ау
dx
или ш -
х
ср (х, у) dx
, т. е. рассмотреть интеграл
J У (х.
У) аУ
-f-oo
Интеграл I (с) = J ср (х, у) ш *) допускает, следовательно,
410 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Поэтому 8 (G— с) мы можем теперь представить в виде:
8(G — с) = Ъ(0)-{-с\псЪ(х' % *' Q-f-с8^(0)4- •• (5) где G = х2 + _у2 z2 — ?2.
Многоточие здесь заменяет члены порядка о (с), а под