Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
8. 1 -4- eix -f- ?2*ж -f- ... -f-e~ix -\- e~zix-
co
2n 2 8 (¦* — 2тсга).
-co
CO
9. 2 sin rtx = 4" Ctg T" *
10. - -s-t—s- -> 8 (x) при s->0.
11. -О (X) ПРИ Г-^-0.
лп 1 sin vx a / \
12. ———--> о (x) при v —> со.
Глава I, § 3
1. Обобщенная функция x+ задается следующими формулами: при Re X > — 1
• со
(х*+, <р) = J хх cp(x)dx; (1)
сводка основных определений.и формул вып. 1 415
при Re X > — га — 1, \ф —1, —2, . . ., — га,
(Л. 9) = 1
= f хх[?(*) — ср(0) — л ?'(0)-...-^71)1(0)] + о
00 та
при — га — 1 < Re X < — га (хх+, 9) =
со
= У^[?w-?(0)-JC?40)-.-.-(-^i?(n-1)(0)]^. О)
о
Эта обобщенная функция при х > 0 созпадает с обычной функцией хх, при х < 0 равна нулю. Она аналитична при всех X, за исключением точек Х =—1, —2, ... —га, в которых она имеет полюсы 1-го порядка. Формула дифференцирования по х:
АД^ХД-1 (кф — 1, -2, ...). (4)
2. Обобщенная функция х\ задается формулами: при Re X >.— 1
0 оо
(хх-, <р) == J | х [х ср (х) dx = J* хх ср (— х) dx; (5)
— со О
при ReX> — га—1, X =^=—1, —2, —га,
(хх_, ?) = У*х[ср(— х) — 9(0) + х«р'(0)—... о
' • • -(-1>n_1-(S)!CP(n_1) dX + °° та '
416 сводка основных определений и формул вып. 1 при — п — 1 < Re X < — п
со
(xi, <р) = f хх[<?(— х) — ?(0) + xcp'(0)— . .. о
•••-(-^""'(^Tjif^CO)]^. (7)
Эта обобщенная функция при х<0 совпадает с | х \\ при х >> 0 — с нулем. Она аналитична при всех X, за исключением точек Х =— 1, —2, .... —п..... в которых она
имеет полюсы 1-го порядка.
Формула дифференцирования по х:
А -х dx
xi = — Xxi-1 (кф—\, —2, ...).
(8)
3. Обобщенная функция [xjA задается формулами: при Re л > —1
СО СО
(|х|\ ср)= J\xW(x)dx = f хЧ? (*) + ?(—x)]dx; (9)
—оо О
при Re X > — 2т — 1, X ф —1, — 3, .... — 2т -f- 1, i
(|х|\ ?) = f ^{?(x) + cp(-x) —2[cp(0)+f ?//(0)+... о
(2^)!^W-2, (0)]}^ +
...+
ет т-1
4- f хх [<р(*)4-<р(—x)id*4-2
1 Л=0
ср№ (0)
(2fe)!(K42fe4 1) '
(10)
при — 2т — 1 < Re X < — 2/и 4-1
со
(Их. <р) = / хх{ср(х)4-?(-х)-2[?(0)4-^ср"(0)4-..-
. (0) | dx. (1-1)
. . . 4- -=- ф(*™>-2.)
(2т — 2)!
Сводка основных определений и формул вып. 1 417
27 Зак. 480. И. M. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I
Она совпадает при х Ф 0 с обычной функцией |х|\ Эта обобщенная функция имеет особенности (полюсы 1-го порядка) при X = —1, —3, .. ., —2т — 1, ...
При Х = —2т мы пишем | х\~2т = х~2т, так что
со
(лг-гт, ?) = j х-гт (Х) _j_ ? (_ х) _ 2 Г? (0) о
+ fj- 9" (0) + - • • 4- (2/и„2), ?<2—2> (0)]} dx. (12) В частности,
(*-. т) = /тМ + t (-*>-» т(Р>,,3)
о
4. Обобщенная функция [x|xsgnx задается следующими формулами: при Re X >• —2
со
( [ х |х sgn х, ср) = J* | х |х sgn х ср (х) dx —
—оо со
= j *Ч? (х) — 9 (— х)] dx; (14)
о
при Re X > — 2т — 2, X —2, —4, . . ., — 2т, 1
(|x|xsgnx, ?) = /*х ?(— *) — 2 [хер' (0) +
о
+1- (0) + • • • +- ср^"1) (0)]} dx +
со «t —1
-f- / xHl (х) - T (- х)] dx + 2 S (2fe + ^ 2) ;
^ A — 0
(15)-
при —2m — 2 < Re X < —2m
CO
(|x|xsgnx, ?)=/ xx{9(x)^-cp(— x) — 2[jf?'(0)-h
0
+ ^-?///(0)+ • • • +(2^rr:T)lT(2m-1) (0)]}**- (16)-.
418 сводка основных определений и формул вып. 1
о
оо
(х-з, T)=/^W-^-g-2*^(0),dje. (19)
5. ^-кратный неопределенный интеграл от Jxj можно записать в виде
х dx
2
[f]
I X |Х+« (Sgn xf V X«-2ft
(2A— 1)! iq — 2k)l X + 2k * ^
~~ (X + 1) ... (A. + ?) ^ (2A— 1)! (? — 2k)l X + 2& ' 6. Обобщенные функции
*+ *i |x|x I x |x sgn AT
Г (X + 1) ' Г (Х + 1) ' r ^+lj ' г ^ + 2^
являются целыми функциями по X. В частности, при X —> — л
(21)
Она совпадает при х Ф 0 с обычной функцией | х |х sgn х. Эта обобщенная функция имеет особенности (полюсы 1-го
порядка) при Х =—2, —4.....—2т, . . . При Х = —2т — 1
мы пишем | х\~2т~1 sgn х = х~2т~1, так что
оо
(х-2**-1, <р) = J х-*»-1{ч(х) — ср(—х) — 2 [х<р'(0)-4-
0
В частности,
со
(х- y(x)-;(-x)dx, (is)
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 419
и при X —> — 2т
xjx (— 1)та5<2та> (х) т\
~* (2т)!
х |х sgn х (—1)т В*2™-1* (х) (т — 1)!
г/Х + 2^ (2т— 1)!
(23)
(24)
7. Функции \n(x-\-iO) и In (л: — Ю) определяются следующим образом:
In (х -(-/0) = lim In (jc 4-= In | jc | 4- ^ 9 (— х), (25) In (x — i0)~ lim In (х— /у) = 1п|х|— rrc 0 (— х), (26)
где
f 0 при х < 0, 9(Х) = \ 1 при х>0.
8. Функции (х4"'0) и (х — определяются формулами:
( е1Хж I х Iх при х < 0,
(х + Ю)х=Дт0(х4-О)х=={ хХ при х>0. (27)
(х — /0)х = lim (х — lyr = [ „"„„ „^rt' (28)
-гх* I Х|Х при х < 0,
у++оу" \ *х при X > 0
Эти функции существуют при любом комплексном X и определяют регулярные функционалы при Re X >— 1. Соответствующие обобщенные функции строятся следующим образом. При X Ф—1, —2, ...
