Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
28 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
434 СВОДКА основных ОПРЕДЕЛЕНИЙ и ФОРМУЛ вып. 1
.иными словами,
dxj dxj
4. Формы ши . . ., wk, . . . задаются условиями:
шо (?) = <Р • <°. du>Q(<p) = dP • (0.(9),
duk-i (?) = dP • шк (ср).
Интеграл от формы cofc (ср) по поверхности Р = 0 определен однозначно.
5. Имеют место равенства
р 8 (Р) = О, Р8'(Р) + 8(Р) = 0. Р 8" (Р) + 2 8 (Р) = О,
Po(fe)(P)-{- fe8(fc_I)(P) = 0,
6. Фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравнения — J^j м = 0 при /г = 2й -f- 3 имеет вид
7. Если поверхности Р=0 и Q = 0 не имеют общих точек, то
8(PQ)==p-18(Q)-4-Q-18(P).
8. Если а (х) не обращается в нуль, то
8(аР) = а-18(Р),
8(ft)(aP) = a-(ft+1)8(ft) (Р),
9. На поверхности Р_=Р2 = ... =Рк = 0 форма Ле-рея со определяется из условия
dPx . . . dPk • (о = dxx . . . dxn.
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 435
со
<Р\ ¦ • • Рк\ "
4JCj . . . Xjc)
10. Обобщенная функция 8 (Рх.....РА) определяется.
формулой
(Ь(Рг, Рк), <p(Jfi. .... *«))= J* ?•«>.
р,-...-рь-0
П.. Форма шв1... ау+1, ...<»ft(<p) определяется через форму «Ч ..'.«. ...аЛ<Р) уравнением
{dPx . . . dPj_1dPj+1 . . . dPAm9i... a ... ak) =
= (— ly'-1^ ... tfPfe o>ei..../+1....ft..
aw§ (P PiA
12. Обобщенная функция - 1 " *—— определяется pa-
dP"1 ... дрУ
l ft
венством
\dP'...apfc» j р,-..У-р,-о
(W = ai-f- ... -г-(ХЛ)..-
13. Имеют место равенства
дг8(Л.....Pu)==2^(P,-..,Pft) _ал
дл:,- v 1^ ~ аР^ dxj '
i = l
. Р;8(Рг, .... P,) = 0, PiPjbiP,, .... PA) = 0,
PtP2 ... P^SCP,, .... Pft) = 0,
и равенства, получаемые из указанных формальным дифференцированием по Ри . . ., РА.
(р1 • •. р*\
В частности, если якобиан D[ ) Ф 0, можно по-
\х1 ... xj
ложить
dxk+1 ... dxn
28*
436
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
Глава Ш, § 2
1. Обозначения
Р=*24" ... +x*p—x
р+1 • " " р+д'
dxt dx-p dx-p+1 dxP+g
n—p-{-q — размерность пространства; p, q > 0.
2. Определение обобщенных функций l_* (P), 8a*) (P), ¦S(fc)(P+), 8W(P_), Px+, Pi, (Р4-Ю)х, (P—Ю)\
2.1. При /? > 1, q > 1
CO
0
CO
?)=-ц^/ ^L^V
о
тде через ФДи, т/) обозначен интеграл от функции ср по поверхности х3-|- ... -\-х\ = и, JC* + 14- ... -f-x|+9 = w,
.деленный на и 2 v 2 .
Написанные интегралы сходятся при k < —1; при
& >- Y — 1 они понимаются в смысле регуляризованных значений в соответствии с § 3 гл. 1.
Аналогичным образом определяются (Р) и 83fc) (Р) л исключительных случаях, когда р—1 или <jr=l.
2.2. (Р\. <р) = j*P'cprfxj ...
Р>о
(Рх_, ср) = f(—Pf9dxt ... dxn.
Р < о
Эти интегралы сходятся при ReX^>0 и представляют собой аналитические функции от X; при ReX<0 они понимаются в смысле аналитических продолжений по X.
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 437
2.3. ow(P+) = (— l)"jfe! выч. Р+,
x=-ft-i
Ь(к)(Р_) = (— \f k\ выч. Рх_.
к=-к-1
2.4. (Р 4-Ю)х = Рх+ 4- егЛХР\, (Р — Ю)х = Рх+ 4- е~™хРх_.
3. Особые точка функций Рх+, Pi, (Р4-г0)\ (Р — Ю)х. 3.1./? — четное, q— нечетное число. Функция Р\ имеет простые полюсы в точках \ = —1, —2, .... —k,
Bbi4.P4 = 4i^^-V)-
3.2. р—нечетное, q — четное число. Функция Рх+ имеет простые полюсы в точках л = —1, —2, —k.....
а также в точках Х =--^,--^—1.....——--k,
q га
выч. Р\ = —1~))„ П-^ Lk 8(*i.....Хп).
2
3.3. /? и q — четные числа. Функция Р+ имеет простые полюсы в точках \ — —1, —2; —k,
S^+ = ^T5T8?"1)(/,)- если А<^;
выч. Р+ =
Х- -ft
—+ft—1 — —
«/71)? "v _l)(р>+ v * * ^.....
3.4. р и q — нечетные числа. Функция Р+ имеет простые полюсы в точках л =—1, —2, —3.....—— l);
в точках X = — y> — ~2 — 1 • • • • • — "2~ — * ' • • эта ФУНК" ция имеет полюсы кратности 2.
29 Зак. 460. И. М. Гельфанд а Г. Е. Шилов, вып. ?
438 Сводка основных определений и формул вып. t
При k < -J-
В окрестности к = — ^ — k
->Х С-2 ¦ с-1
р+ (k+f+*r>+i+*)+""
где
2 _ 2
С_2- —- 7— Г" ^ О (Х_, . . . , Хге;
п
н--,V N V2/J ^-fes.....*n)-
4*А! Г
3.5. При переходе от Р\ к Pi. следует в 3.1—3.4 поменять ролями индексы р и q, а также заменить L на —L и 8ift-4(P) на Ь?-1)(—Р).
3.6. Функции (Р4-г'0)х и (Р — Ю)х имеют особенностями
, п п . лишь простые полюсы в точках А =—,--^—1, ...
.. 2 к, . . .
выч. (Р-Н0)л= выч. (Р— /0)х =
тс . п
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 439
4ft(/fe—1)1гса
29*
4. Связь между функциями Ь{к)(Р), (Р), 8(Й)(Р+) и Ь(к)(Р_).
4.1. 8_ft)(— Р) = (—1)к$)(Р).
4.2. Если п — нечетное, а также если га четное и k < — 1, ото
8ift) (Р) = Ь2к) (Р) = 8(fe) (Р+), если п — четное и ^-—1, то
Sf (Р) - 8_*} (Р) = с* q, kLk~^+ *8 (xt, .... xj.
Ь(к) (Р) - 8(ft) (Р+) = 4 ^~^+1§ (*i.....*«).
