Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(x + /0)x = xx+-T-<?ix*xx_, (29)
(х — Ю)х = х+ 4- (30)
где обобщенные функции х+ и х\ определены формулами (1) — (3) и (5)—(7). При Х = — п, л=1, 2, ....
(х + ЮГ" = х~п--"^У1 S<—П (х), (31)
(х _ Ю)~" = 4. t*^"'1 8("-Ц (х), (32)
27*
при X—>— 2т— 1
420 сводка основных Определений и формул вып. 1
где обобщенная функция х~п определена формулой (12) или (17). Таким образом, обобщенные функции (x-\-i0)x и (х— Ю)х определены при всех X. Это целые аналитические функции от X. Соотношения
(х 4- /0)х = (х — Ю)х:
lim (х-(- iy)x, у ->+о
: lim'(x — iy)x у->+о
выполняются как в обычном смысле, так и в смысле обобщенных функций.
Формулы дифференцирования
d
dx
(х + iQ)x = X (х 4- Ю)х-1 (X ф 0),
^ (х — Ю)х = X (х — Ю)х-1 (кфО).
4~ In (X 4" *0) =-г-7л >
dx v 1 ' x 4 Ю 7n.\n(x-i<X) = J-1&.
(33)
(34)
9. Обобщенная функция гх при ReX;>— п задается формулами
(гх, <р) = f rx9(x)dx = Qnj rx+"-iS„(r)dr,
(35)
где Qn—поверхность единичной сферы га-мерного пространства, 59(г) — среднее из значений функции ср по сфере радиуса г.
Эта обобщенная функция аналитически продолжается во всю плоскость X с исключенными точками Х= — га, — п — 2, —п — 4, в которых она обладает полюсами
1-го порядка,
2гх
10. Обобщенная функция - . ,—- — Целая аналити-
ческая по X. При Х = — п она обращается в 3(х), при X = — га — 2k — в
_(-1)*А*8(*)_ fi
2Шп («42) ... (п 4 2k — 2) *
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 421
11. Формула разложения гх на плоские волны: Частные случаи: при га нечетном
п— 1
8 (Х) = 2 / 8(И~ 4 (lBlXl + ' ' • + ШпХп) *Щ (38)
при га четном
п
а также при любом га
8<Х) = (-(Ё)^ / ••• +">яхя—Ю)-Яйш. (40)
2
Глава I, § 4
1. Обобщенная функция х+lnmx+ (к Ф—\, —2, . . .) определяется по следующим формулам: при Re \ > —1
со
(х + In™ х+, ср) = j*x4n™xcp(x) dx; (1)
о
при ReX > — га — 1, Х^= —1, —2.....—га,
(х\ \пт х+, ср) = 1
— J хх \пт х ?cp (х) — ср (0) — х ср' (0) — . . . о
••• -(-л^)]Т(и-1)(0)]^ +
со
4=1
1
422 сводка основных определений и формул вып. 1
при — га — 1 <С Re X < — п (х+ \птх+, ср) =
ОО
= f Xх 1п™х[ср(х)-9(0)-л:срЧ0)-..._^^-1?(»-Ц (0)]dx.
о
(3)
2. Формула дифференцирования по X:
^х+ = х\.Ы™х+ (кф— 1, —2, ...). (4)
Разложение функции х+ в ряд Тейлора в окрестности регулярного значения Х^
хх+ = хх?-\-(к — lo)xx^ lnjc++i-(X — Xo)2x^ln2x+ + ... (5)
3. Обобщенная функция х+" определяется формулой
со
9)== У*х-«[ср(х) — ср(О)— хср'(О) — ... о
эта обобщенная функция совпадает с функцией х~п при х>0 и равна нулю при х < 0. Она не является значением определенной выше функции х+ при X = — га.
4. Обобщенные функции x+nlnmx+ задаются формулами (*+я1п»»х+. <р) =
СО
= У х-та1п™ х [\р (х) — ср(0) — хср'(0)— • • •
о
• • • - JjT=^\ ср(и-2) <°> - (п^1)1 ^П'1} <°) 9 <! - Х>] <7>
5. В окрестности полюса Х = — га разложение х+ в ряд Лорана имеет вид
**+ = (~ 1>Я(п- ^ ТГГп- + *+*+ Е + ")*+* »п *+ + »
+ ±(Х-{-«)2х;п1п2х+-}- ... (8)
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 423
x x
- j"
ax
шхл_ = х11п^х_ (КФ — 1. —2, . . .). (12)
Разложение функции Xх. в ряд Тейлора в окрестности регулярного значения Х0:
Xх. = Xх! 4-(X — Хо) хх2 In х_ 4-i- (X — Хо)3хх2 In2 х_+ ... (13) 8. Обобщенная функция xZn определяется формулой
со
(х:га, <р) = f х-«[ср(~х) — 9(0)4-^?'(0) —...
о
••• — (—V"'1 <0=Щ^п-11 x)]dx-, (14)
6. Обобщенная функция хх_\птх_ (X Ф—1, —2, . . .) определяется по следующим формулам: при Re X >—1
о
(хх_ In™ х_. 9) = jI *|4n™|jc| =
— CO
оо
= f xxlnmx<?(— x ) dx; (9)
о
при ReX> — n — 1, X ф—1, —2, .... —n, i
(xx_lnx™, 9) = f jc4n».rr<p(— x) — 9(0)4-х940)— ...
0
••• -(-l)n_1(„^t^-M0)]dx+.
4 ГхМп^Х9(-л:)^х+У (-ir+*-W*-i>(0) . (10) ~j/ T ?Ti (fe — 1)! (X -j- k)m+ V '
при —n—l<CReX<C — n
CO
(xx_lnx^,9) = J jc4n™x[\p(— x) — 9 (0)-I-x 9'(0) — . . .
0
• • • - ("О""1 (^1)! (0)] dx. (11)
7. Формула дифференцирования по X:
424 сводка основных определений и формул вып. 1
эта обобщенная функция совпадает с обычной функцией |xj-n при х < 0 и с кулем при х > 0. Но она не является значением определенной выше аналитической функции xl при Х =— п.
9. Обобщенные функции xlnlnmx_ задаются формулами
оо
(xZnlnmx-, ср) = jх-пЫтх\^(—х) — ср(0)4-хер'(0)— .. . о
•••—(—О""1 (^Fi)!?'*-4 (O)0(l— x)]dx. (15)
10. В окрестности полюса ~к~ — п разложение хх_ в ряд Лорана имеет вид
х Ь^п ^ (х) 1 , — п I ,л , ч —п. .
*- - + + (* + «)*- Шх_4-
-+-^(Х + я)2х1п1п*л:_-г- ... (16)
11. Функционал | х |х lnfc | х | определяется по формулам, аналогичным (9)— (11) стр. 416, с заменой всюду Xх на xxlnftx.
В окрестности регулярной точки Xq разложение функции | х |х в ряд Тейлора имеет вид
| х ]х = | х Iх» 4- (X—Хо) | х |х° In | х | + Ix lXa In21x I+-•
