Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(G\ ср) = f О* (хи .. ., xj ср(хи .... хп) dxx . . . dxn,
G>0
представляет собою аналитическую функцию от X. Эта аналитическая функция может быть продолжена во всю плоскость X как мероморфная функция, полюсы которой лежат на конечном числе арифметических прогрессий. Именно, каждой связной компоненте поверхности 0 = 0, состоящей из точек порядка г и степени т, отвечает серия полюсов
г r+l r+k
в точках--,---¦— , . . .,--¦—, . . . Если имеется
т т т
несколько вложенных друг в друга связных компонент, состоящих из точек различных порядков, и значение Х = Хо принадлежит нескольким сериям, отвечающим этим компонентам, то кратность полюса в точке \ соответственно увеличивается.
В частности, если на поверхности 0 = 0 нет особых точек (т. е. все ее точки—приводимые порядка 1 и степени 1), то полюсы функции (Ох, ср) исчерпываются серией — 1, —2, .... —п.
5. Предположим, что поверхность 0 = 0 состоит только из приводимых точек, а поверхность G = c при с>0 не
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 445
со mk
где 0> —Xt >>—Х2 > .. .—полюсы функции (0х, ср), тк—кратность полюса в точке Хк и акт есть коэффициент при ^ в разложении Лорана для (Gx, ср) в окрестности полюса —
умноженный на ^т__ щ • 6. В частности,
оо оо
/ср.со^ / ^yldy==— f '^{Х'У) dx =
осу=*с —со
оо
= -2<р(0. 0)lnc-f- [*l*iVLdx+- f т(0' у) tfy4-...,
где многоточие заменяет члены, стремящиеся к нулю при с —> 0. Эквивалентная формула
8(ху — с) = — 2 8(*. д,)1псЧ-^+-^- + о(0.
7. Для G = x2-f-j2-|-22 —^2
8 (G — с) = 8 (G) 4- с In с 5 (х' * *' ^ 4- с 8' (G) 4- о (с).
имеет особых точек. Пусть, далее, форма со определена равенством dG • со = dv. Для интеграла
I (с) = J* <р (*i.....хп) • со = (8 (G — с), ср)
имеет место асимптотическое разложение
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
I. Функции одного переменного
с
'а
%
Обобщенная функция J
Преобразование Фурье F [/]
со
1
Обычная интегрируемая
/=•[/]= С/(лг) rfx
функция f (х)
—со
2
о(х)
1
3
1
2те 6 (а)
4
Многочлен Р (х)
5
S<2m> (х)
(_ 1)™а2"«
6
(_ 1
7
еЬоа
2 те 8 (_ — И)
8
sin Ьх
— /те [6 (S + 6) — 8 (S — 6)]
9
cos Ьх
те [S (s + 6) + 5 (s — &)]
10
sh Ьх
те [8 (S — /6) — 8 (s + /6)
11
сп Ьх
те [5 (s — ib) -f- В (s -f- lb)]
а?
12
е*
Аналитический функционал
1У~2пе2 (интегрирование по
мнимой оси)
13
\*\Х (*=?-!, -3, ...)
-2sin~r(X+l)\crk-i
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 447
Проб олжение
2 2
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F [f\
14
15
16
Л (¦*)
_-? 1*Г
| JC iх sgn jf (X^fc -2, -4, ...)
17
18
19 20
21
22 23
24
лг-i
х \ {\ф -1, -2, ...)
(А=? -1, — 2, ...)
У"2*/_х_,(а) = У 2те
Arc
Х+1
2 2 la!-^1
2/ cos^ Г (А + 1) | a |_x_1 sgn а
/2* /_-_,__(») =
Х + 1
.2
= Y 2т. I
-Х-1
Sgn з
2 (_ [)т - .("•) (0)
а7к-1 sgn а
(я — 1)!
/л sgn а — я | <7|
IX
/в 3Г(Х4-1)(а+/0)-х-1 = = <Г(А + 1)Х
ln+ 1п\ а""-1 + (— 0W * 8(п) (л:) /9-1 +те 5 (а)
-ix?-
¦/* "Г (X + 1) (а — /0) = = /Г (X + 1) X
X
[к .it "1*1
р) Второе — при X ф 0, ±1, ±2, ± 3, ...
448 СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Продолжение
а с"
2
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F \f\
25
26
(х + /0)л (х — Ю)х
2ке
Г(-Х) 2пе 3
Г(-А) " +
.-Х-1
В дальнейших формулах 27—38 введены следующие обозначения:
ieX 2Г(Х + 1) -iX
/<? 2 Г (Х+1) = 5^ + 60та> + ftW(X+ л)+....
Хтс
-(га)
-2 sin _ Г (Х+ 1) = + с0И) + 4П)^ + «) + ..
Хя
2 cos ^. г (X + 1) = з^-р! + 4») + 4») (X + я). Коэффициенты а("[, а%1\... имеют следующие значения:
4Я) =
4">
-1
(п —
1)!
.„-
1
1)!
1
Z
(Л —
1)!
+ + ••• +^)r'(i) + r-(i) + + 4[i+|+...+^T + r'(i)]};
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЁ 449
"с
%
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F\f]
ср == 2 Re af >; г/$«> = 2 I m af >.
в
частности,
27
\х\-2т~1
28
х~2т sgn X
29
хх+ In х+ (Хф-\, -2,..,)
It
toU 2 {[Г' (X+l)+/ | Г (Х+1)] (а+Ю)-^1-— Г (X + 1) (a -f /О)-*-1 In (a + /0) |
30
х\ In X_ {\ф-1, -2, ...)
-ie ит|^Г'(Х + 1)-/-|-Г(Х+1)]х
х^ — юг^1 —
— Г(Х + 1) (и — Ю)_х-11п(а — /0) |
31
In х+
<-{(r'(l) + /-j)[(*+/0)-1-
— (a + /0)_1 ln(a-|-/0) ]]
32
In X _
— (a — /О)- 1 In (a — /0)] |
33
\xt\*\x\ (\ф-\, -2, ...)
to 2{[r'(X+l)+;Jr(X+l)] (a4-/0)-x-1-— Г(Х+1) (s+iO)-x-1ln(a + /0)) —
-te~%X 1 { [г (X + 1) - / Г (X + l)]x — Г(Х +l)(a —Ю)_л_11п(а—/0) j
Продолжение
450 сводная таблица преобразований фурьё
Продолжение
в
2
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F [/]
34
35 36 37
38
39 40 41
| х Iх In ] х | sgn X
X-*m In | х\ Х--27П-1 In |^|
-2т—1
In 1*|
¦ 2т
\n\x\sgnx
