Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(17)
В окрестности полюса X0 = —2m— 1 разложение функции j x I в ряд Лорана имеет вид
I*1 (2/и)! Х42/?г41^1 1 ^
_]_(Х4-2ОТ4-1)]хГ3то-11п|х|4- .... (18)
где при —2т — 2<ReX<—2т
I |— %т— 1 — 2?«.— 1 | д, | — Jf+
I х r3w-V | х | = xl2™"1 lnfcx+ 4- xl2"1-1 In* х_; (19а)
xr^-^jt^-^^"1; (19)
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 425
в частности,
оо
(\х\-2т-\ <р) = f х-3—1{9(x)-T-?(-x)-2[?(0) + о
+ ?<р"(0)4- 4-^?(*») (0)0(1 — x)]}dx. (20)
Обобщенная функция | х j-2m_1 совпадает с обычной функцией | хГ3т_1 при х ф 0.
12. Обобщенная функция | х |х sgn х In* [ х j определяется по формулам, аналогичным (14) — (16) стр. 417, с заменой всюду хх на хх lnfc х.
В окрестности регулярной точки Х0 разложение функции ]x|xsgnx в ряд Тейлора имеет вид
| х f sgn х = I х [х° sgn х 4- (X — Xq) I x Iх" In I x I sgn x 4-
4-4 0 — X0)2|x|x4n|x|sgnx4- ... (21)
В окрестности полюса Xq = — 2m разложение функции I x |x sgn x в ряд Лорана имеет вид
|х| sgnx = -2 - + sgnx-h
4-(X4-2m)|x|~3mln|x|sgnx4- . . ., (22) где при — 2т — 1 < Re X < — 2т-Аг\
| х Г*т sgn х = х?т — х13те; (23)
| х Г2ТО In* | х | sgn х = x+3w lnA х+ — х_2то In* x_; (23a) в частности,
со
(|x|-awsgnx, <р)=/x"am |?(x)—?(-x) —2[xcp'(0) +
0
(24)
Подчеркнем, что |xj_am_1 не есть значение | х |х при А. = —2т — 1 и что | х \~2т sgn х не есть значение | х jx sgn х при Х = —2т,
426 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. I
=1
Обобщенная функция |х| sgnx совпадает при х Ф О с обычной функцией | х |-2OTsgn х.
13. Производные по X обобщенных функций (х -\— /0)х и (х — /0)х обозначаются соответственно через
(*-Н0)Чп (X +/0) и (х-4-Ю)х1п(х —Ю);
это целые функции от X, которые выражаются формулами:
(х -\- г0)х In (х -f- г0) =
f х+ In х+ -f- i-xeiXlzx\ -4- eix*x\ In x_ при X ф — л,
j(—1) nux_ -4-(— 1) 2" In I x J при X=—«;
(25)
(x —/0)х1п(х —Ю) =
r x\ In x+ — iTre-ix,cxx_ 4- e~ix%x\ In x_ при \ф—n,
, 1Nra-l. -та , , 1Чта-1 "2 S(ra"-^(x) , „. , , ,
(—1) лих_ 4(—1) 2" (/г — l)l Ч-^~ In j x: [ при X=—?г.
(26)
14. В окрестности полюса Х = — л— 2k функция гх разлагается в ряд Лорана
гх_о 5(2&)(0 1 i о _-«-*_,
r — ^п (2А), + "п' 4-
4-2re(X + re4-2&)r-ra-3fclnr4- . . . (27)
Здесь функционалы 8(2&) (г), r_n_2ft> г-п~2к [пт г Применяются к функциям S9 (г) по формулам:
(8(aft) (г), 5, (г) ) = 42fe) (0), (23)
со
(г~п-3\ S, (г) ) = / r-3fe-ra[s9 (г)-?(0)- ... о
•¦• - (2k-2)1 ^2&"2) <°> - (Щ ^ (Q) 9 О — O] dr. (29)
CO
(r-w"3fc lnm r, S4 (r) ) = jf г-3*"" In™ г [s, (r) — <p (0) — . . .
0 '
5^5^(0)0(1 —r)]dr. (30)
(2A)1
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 427
5f)(0)-<2*>! 2"Дга?(°>-. (31)
9 2fe?!/z(/z + 2) ... (njr2k — 2) 4 '
Глава I, § 5
1. Прямым произведением f(x)y.g(y) функционалов /0е) и g(y) называется функционал в пространстве основных функций ср (х, у), действующий по формуле
С/ (*) X g(y), ? (х, y)) = (f (х), (g(y), ср (х, у))).
2. Сверткой f(x)#g(x) функционалов /и g называется функционал в пространстве основных функций ср (х), действующий по формуле
(/а(х), (g(y), ч(х-{-у))).
Свертка определена при выполнении одного из следующих условий:
а) один из функционалов /, g имеет ограниченный носитель;
б) носители обоих функционалов ограничены с одной и той же стороны.
При выполнении этих условий свертка коммутативна и ассоциативна.
3. 8-jf/ = / для любого /.
dxj J dxj'
dxjyj &/ dxj 5 J dxj 6. Из /„-» / следует f4*g-*f*g при каждом из следующих предположений:
а) все функционалы /„ сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве;
б) функционал g сосредоточен на ограниченном множестве;
в) носители функционалов /„ и g ограничены с одной и той же стороны и притом не зависящей от v константой.
Величина Б„к\0) выражается непосредственно через функцию ср(лг) и ее производные по формуле
428 сводка основных определений и формул вып. 1
7. Фундаментальным решением уравнения
называется обобщенная функция Е{х), удовлетворяющая условию
Решение уравнения (1) может быть выражено по формуле
и — Е* g
при условии существования этой свертки. См. также гл. I, § 6, nn. 1—3, гл. II, п. 8. гл. III, § 2, п. 5.
8. Фундаментальным решением задачи Коши для уравнения
- со
называется обобщенная функция E(x,t), зависящая непрерывно от параметра /, являющаяся при t > 0 решением уравнения (2) и обращающаяся в 8 (х) при / —> 0.
Решение уравнения (2) с начальным условием и(х, 0) = = и0(х) может быть представлено в форме
и (х, t) = E (х, ?) #¦ и0 (х),
при условии существования этой свертки.
9. Фундаментальным решением задачи Коши для уравнения
Р(Э7' Si)"(*¦'> = 0 (3)
/га-го порядка по t называется обобщенная функция Е(х, t), зависящая непрерывно от параметра t, являющаяся при t > 0 решением уравнения (3) и обладающая свойствами