Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 114

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 125 >> Следующая


(17)

В окрестности полюса X0 = —2m— 1 разложение функции j x I в ряд Лорана имеет вид

I*1 (2/и)! Х42/?г41^1 1 ^

_]_(Х4-2ОТ4-1)]хГ3то-11п|х|4- .... (18)

где при —2т — 2<ReX<—2т

I |— %т— 1 — 2?«.— 1 | д, | — Jf+

I х r3w-V | х | = xl2™"1 lnfcx+ 4- xl2"1-1 In* х_; (19а)

xr^-^jt^-^^"1; (19)

СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 425

в частности,

оо

(\х\-2т-\ <р) = f х-3—1{9(x)-T-?(-x)-2[?(0) + о

+ ?<р"(0)4- 4-^?(*») (0)0(1 — x)]}dx. (20)

Обобщенная функция | х j-2m_1 совпадает с обычной функцией | хГ3т_1 при х ф 0.

12. Обобщенная функция | х |х sgn х In* [ х j определяется по формулам, аналогичным (14) — (16) стр. 417, с заменой всюду хх на хх lnfc х.

В окрестности регулярной точки Х0 разложение функции ]x|xsgnx в ряд Тейлора имеет вид

| х f sgn х = I х [х° sgn х 4- (X — Xq) I x Iх" In I x I sgn x 4-

4-4 0 — X0)2|x|x4n|x|sgnx4- ... (21)

В окрестности полюса Xq = — 2m разложение функции I x |x sgn x в ряд Лорана имеет вид

|х| sgnx = -2 - + sgnx-h

4-(X4-2m)|x|~3mln|x|sgnx4- . . ., (22) где при — 2т — 1 < Re X < — 2т-Аг\

| х Г*т sgn х = х?т — х13те; (23)

| х Г2ТО In* | х | sgn х = x+3w lnA х+ — х_2то In* x_; (23a) в частности,

со

(|x|-awsgnx, <р)=/x"am |?(x)—?(-x) —2[xcp'(0) +

0

(24)

Подчеркнем, что |xj_am_1 не есть значение | х |х при А. = —2т — 1 и что | х \~2т sgn х не есть значение | х jx sgn х при Х = —2т,

426 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. I

=1

Обобщенная функция |х| sgnx совпадает при х Ф О с обычной функцией | х |-2OTsgn х.

13. Производные по X обобщенных функций (х -\— /0)х и (х — /0)х обозначаются соответственно через

(*-Н0)Чп (X +/0) и (х-4-Ю)х1п(х —Ю);

это целые функции от X, которые выражаются формулами:

(х -\- г0)х In (х -f- г0) =

f х+ In х+ -f- i-xeiXlzx\ -4- eix*x\ In x_ при X ф — л,

j(—1) nux_ -4-(— 1) 2" In I x J при X=—«;

(25)

(x —/0)х1п(х —Ю) =

r x\ In x+ — iTre-ix,cxx_ 4- e~ix%x\ In x_ при \ф—n,

, 1Nra-l. -та , , 1Чта-1 "2 S(ra"-^(x) , „. , , ,

(—1) лих_ 4(—1) 2" (/г — l)l Ч-^~ In j x: [ при X=—?г.

(26)

14. В окрестности полюса Х = — л— 2k функция гх разлагается в ряд Лорана

гх_о 5(2&)(0 1 i о _-«-*_,

r — ^п (2А), + "п' 4-

4-2re(X + re4-2&)r-ra-3fclnr4- . . . (27)

Здесь функционалы 8(2&) (г), r_n_2ft> г-п~2к [пт г Применяются к функциям S9 (г) по формулам:

(8(aft) (г), 5, (г) ) = 42fe) (0), (23)

со

(г~п-3\ S, (г) ) = / r-3fe-ra[s9 (г)-?(0)- ... о

•¦• - (2k-2)1 ^2&"2) <°> - (Щ ^ (Q) 9 О — O] dr. (29)

CO

(r-w"3fc lnm r, S4 (r) ) = jf г-3*"" In™ г [s, (r) — <p (0) — . . .

0 '

5^5^(0)0(1 —r)]dr. (30)

(2A)1

СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 427

5f)(0)-<2*>! 2"Дга?(°>-. (31)

9 2fe?!/z(/z + 2) ... (njr2k — 2) 4 '

Глава I, § 5

1. Прямым произведением f(x)y.g(y) функционалов /0е) и g(y) называется функционал в пространстве основных функций ср (х, у), действующий по формуле

С/ (*) X g(y), ? (х, y)) = (f (х), (g(y), ср (х, у))).

2. Сверткой f(x)#g(x) функционалов /и g называется функционал в пространстве основных функций ср (х), действующий по формуле

(/а(х), (g(y), ч(х-{-у))).

Свертка определена при выполнении одного из следующих условий:

а) один из функционалов /, g имеет ограниченный носитель;

б) носители обоих функционалов ограничены с одной и той же стороны.

При выполнении этих условий свертка коммутативна и ассоциативна.

3. 8-jf/ = / для любого /.

dxj J dxj'

dxjyj &/ dxj 5 J dxj 6. Из /„-» / следует f4*g-*f*g при каждом из следующих предположений:

а) все функционалы /„ сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве;

б) функционал g сосредоточен на ограниченном множестве;

в) носители функционалов /„ и g ограничены с одной и той же стороны и притом не зависящей от v константой.

Величина Б„к\0) выражается непосредственно через функцию ср(лг) и ее производные по формуле

428 сводка основных определений и формул вып. 1

7. Фундаментальным решением уравнения

называется обобщенная функция Е{х), удовлетворяющая условию

Решение уравнения (1) может быть выражено по формуле

и — Е* g

при условии существования этой свертки. См. также гл. I, § 6, nn. 1—3, гл. II, п. 8. гл. III, § 2, п. 5.

8. Фундаментальным решением задачи Коши для уравнения

- со

называется обобщенная функция E(x,t), зависящая непрерывно от параметра /, являющаяся при t > 0 решением уравнения (2) и обращающаяся в 8 (х) при / —> 0.

Решение уравнения (2) с начальным условием и(х, 0) = = и0(х) может быть представлено в форме

и (х, t) = E (х, ?) #¦ и0 (х),

при условии существования этой свертки.

9. Фундаментальным решением задачи Коши для уравнения

Р(Э7' Si)"(*¦'> = 0 (3)

/га-го порядка по t называется обобщенная функция Е(х, t), зависящая непрерывно от параметра t, являющаяся при t > 0 решением уравнения (3) и обладающая свойствами
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed