Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 115

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 125 >> Следующая


\\тЕ(х, 0 = 0, lim d?(-M) =Q> _ t -> 6 г -> о

. . ., 1ш -^ ' = 0, Um-ы =

СВОДКА основных ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 429

Решение уравнения (3) с начальными условиями >(х,( dt

д™'1 и(х,0)

„(г 0\ _ ди (х, 0) _ _ дт~2 и (X, 0)

и (X, и) — ^ ... — ^Г^2 —и-

.-_ --- = Um _ , (х)

может быть представлено в форме

а (х, t) = E (х, t) * (х)

при условии существования этой свертки. См. также гл. I, § 6, пп. 4—5, гл. II, п. 8, гл. Ill, § 1 п. 6.

10. Интеграл порядка \ от обобщенной функции g(x), равной нулю при х << 0 {п = 1), определяется формулой

При ReX<0 эта формула определяет производную от g(x) порядка —X.

11. Гипергеометрическая функция

1

Г (а, 8, Т, *) = Г(Р)Г(Т)-Р) f-0Т"Р_1(1 -txya dt

о

удовлетворяет уравнению

-F(a, 8, г, х) = —-g— -±_^-i±.

\ dxp-T [ Г (р)

г(т)

или

хГ'

¦»(1_;с)в+Р-т л rf-P Г*г' (1--^)гт —---F(a, 8, т, х) =-g —t---1±- .

12. Бесселева функция JX{Yи) связана с элементарными функциями следующей формулой дробного дифференцирования:

2х V* "Х/2Л--т

-х-

йи 2 /а

430 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. I

Глава I, § 6

1. Фундаментальное решение эллиптического уравнения Р (J^j Е (х) = Ъ (х) может быть записано в форме

Е (х) = j vm (со^ -{-...+ юпхп, —п) dQ ,

где

со

причем О (?, ев) есть решение уравнения

При п нечетном выражение (1) приводится к виду (? = ш1х1 ... + <»„*„)

п-1

Qn(2n) 2 1-3 ... (л —2) s d6n_1.

2. Если Я (J^) — однородный многочлен от степени /и, то имеет вид 1

4(271)"» 1(2т — п)\ J Р (<olf<о„)

(2/и > и, и нечетно);

П —2 /»

(2*)n(2m — /г)! а .....о>„)

(2/и ^ п, п четно);

/ (»Л + • - - + wnxn) dQ

2(2Л)И-1 a P(o»t,...,o»n)

(2/и < л, /г нечетно);

(„_2m-l)!_ J |co1x14-...+co,/l.rre|2OT-"^Q

(2тс)и а Р(«ч, ...,«»„)

(2/и < и, и четно).

СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 431

3. Указанные формулы остаются справедливыми и для однородных операторов р (J~^j' У которых grad Р (ев) не обращается в нуль при Р((в) = 0, ев Ф 0; но интегралы в этих формулах понимаются как регуляризованные (в смысле главного значения по Коши).

4. Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения Р ^, — 0 имеет вид

u(x,f) = —[-^rf\ f Gm(t,Z — т])

I

du>,

где Gw(t, ?) — фундаментальное решение задачи Коши для уравнения

d

\dt'

В частности, при п нечетном

п-1

..,0 <-"'('-^)' г,-

и ^х, t; — J dg™-1

2,^ 2 (л—1)!

5. Если P(J}f> -j^j — однородный гиперболический многочлен порядка т, то а (х, t) принимает вид

п+1

и (х, t) =

(-1)

X

2(2п)п~1 (т — п— 1)1

X / (S ^4-r-^)",",_1sgn?»-1 (2 *^*-И)

(m^s>n — 1, л нечетно);

Р(1, 6)-0

P(i, Q-0

2 +'

dm

2

(т^-п — 1, п четно);

432 Сводка основных определений и формул вып. 1

2 V/t — ill )i / ______—___

n—m+l

(те < /г — 1, /г четно).

Глава II

1. Преобразование Фурье основной функции ср (л:)

Ф (5) = J ср (х) г* (Ж181+ ••• +a,nen) dxl ... dxn

есть целая аналитическая функция комплексных переменных 51 = а1-|-гх1, .... sn = on-\-iin; она удовлетворяет неравенствам

где {|x_j|^cj}—область, вне которой основная функция ср(х) обращается в нуль.

2. Совокупность всех функций ф(з) указанного вида называется пространством Z. Последовательность ф, (s) (_ Z называется сходящейся к нулю в Z, если их прообразы Фурье cpv (х) ? /С сходятся к нулю в К.

3. Преобразованием Фурье обобщенной функции /, т. е. функционала, действующего на пространстве К, называется функционал g—F(f), определенный на пространстве Z и действующий по формуле

(g, ф) = (2тс)я(/. ср),

где ф (5) (_ Z есть преобразование Фурье основной функции ср(х)?/С.

4. Дифференцирование и умножение на независимое переменное при преобразовании Фурье:

r[r{?)fhp<r-wifi

FlP(x)f\ = p(~i-§F)F[f\.

П+1

v ' P(i, t)=o

(те < /г — 1, /г нечетно);

га+2

СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 433

F[/] = (/(x), е1 s)) = (/ (х), е~* (».«)).

7. F[S] = S.

8. Если «(x, t) есть фундаментальное решение задачк Коши для уравнения — р(л~^и = 0, то

f ц (х, t) при г > О, ?<*'0 = ( 0 при *<0

удовлетворяет уравнению

дЕ (х, t) dt

(Z ~Wx~)E(-X' 0 = S(*> О-

9. Преобразования Фурье конкретных обобщенных функций даны ниже в сводной таблице (стр. 446—456).

Глава Ш, § 1

1. Форма Л ере я со на поверхности P(xls x„).= G<

определяется равенством

dP • со — dxx . . . dxn\ в точках, где ^ 0, ее можно представить в виде

дР

dXj

2. Функционал 8 (P) определяется по формуле

(8(P). cp)= J'cp(x)a).

P=0

3. 0 (P) есть характеристическая функция области Р(х")^0. Имеет место формула дифференцирования

0' (Р) == 8 (Р),

5. Преобразование Фурье прямого произведения:

F[fXg\ = Flf]XF [g\.

6. Преобразование Фурье функционала, сосредоточенного в ограниченной области, есть функционал типа функции
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed