Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
\\тЕ(х, 0 = 0, lim d?(-M) =Q> _ t -> 6 г -> о
. . ., 1ш -^ ' = 0, Um-ы =
СВОДКА основных ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 429
Решение уравнения (3) с начальными условиями >(х,( dt
д™'1 и(х,0)
„(г 0\ _ ди (х, 0) _ _ дт~2 и (X, 0)
и (X, и) — ^ ... — ^Г^2 —и-
.-_ --- = Um _ , (х)
может быть представлено в форме
а (х, t) = E (х, t) * (х)
при условии существования этой свертки. См. также гл. I, § 6, пп. 4—5, гл. II, п. 8, гл. Ill, § 1 п. 6.
10. Интеграл порядка \ от обобщенной функции g(x), равной нулю при х << 0 {п = 1), определяется формулой
При ReX<0 эта формула определяет производную от g(x) порядка —X.
11. Гипергеометрическая функция
1
Г (а, 8, Т, *) = Г(Р)Г(Т)-Р) f-0Т"Р_1(1 -txya dt
о
удовлетворяет уравнению
-F(a, 8, г, х) = —-g— -±_^-i±.
\ dxp-T [ Г (р)
г(т)
или
хГ'
¦»(1_;с)в+Р-т л rf-P Г*г' (1--^)гт —---F(a, 8, т, х) =-g —t---1±- .
12. Бесселева функция JX{Yи) связана с элементарными функциями следующей формулой дробного дифференцирования:
2х V* "Х/2Л--т
-х-
йи 2 /а
430 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. I
Глава I, § 6
1. Фундаментальное решение эллиптического уравнения Р (J^j Е (х) = Ъ (х) может быть записано в форме
Е (х) = j vm (со^ -{-...+ юпхп, —п) dQ ,
где
со
причем О (?, ев) есть решение уравнения
При п нечетном выражение (1) приводится к виду (? = ш1х1 ... + <»„*„)
п-1
Qn(2n) 2 1-3 ... (л —2) s d6n_1.
2. Если Я (J^) — однородный многочлен от степени /и, то имеет вид 1
4(271)"» 1(2т — п)\ J Р (<olf<о„)
(2/и > и, и нечетно);
П —2 /»
(2*)n(2m — /г)! а .....о>„)
(2/и ^ п, п четно);
/ (»Л + • - - + wnxn) dQ
2(2Л)И-1 a P(o»t,...,o»n)
(2/и < л, /г нечетно);
(„_2m-l)!_ J |co1x14-...+co,/l.rre|2OT-"^Q
(2тс)и а Р(«ч, ...,«»„)
(2/и < и, и четно).
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 431
3. Указанные формулы остаются справедливыми и для однородных операторов р (J~^j' У которых grad Р (ев) не обращается в нуль при Р((в) = 0, ев Ф 0; но интегралы в этих формулах понимаются как регуляризованные (в смысле главного значения по Коши).
4. Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения Р ^, — 0 имеет вид
u(x,f) = —[-^rf\ f Gm(t,Z — т])
I
du>,
где Gw(t, ?) — фундаментальное решение задачи Коши для уравнения
d
\dt'
В частности, при п нечетном
п-1
..,0 <-"'('-^)' г,-
и ^х, t; — J dg™-1
2,^ 2 (л—1)!
5. Если P(J}f> -j^j — однородный гиперболический многочлен порядка т, то а (х, t) принимает вид
п+1
и (х, t) =
(-1)
X
2(2п)п~1 (т — п— 1)1
X / (S ^4-r-^)",",_1sgn?»-1 (2 *^*-И)
(m^s>n — 1, л нечетно);
Р(1, 6)-0
P(i, Q-0
2 +'
dm
2
(т^-п — 1, п четно);
432 Сводка основных определений и формул вып. 1
2 V/t — ill )i / ______—___
n—m+l
(те < /г — 1, /г четно).
Глава II
1. Преобразование Фурье основной функции ср (л:)
Ф (5) = J ср (х) г* (Ж181+ ••• +a,nen) dxl ... dxn
есть целая аналитическая функция комплексных переменных 51 = а1-|-гх1, .... sn = on-\-iin; она удовлетворяет неравенствам
где {|x_j|^cj}—область, вне которой основная функция ср(х) обращается в нуль.
2. Совокупность всех функций ф(з) указанного вида называется пространством Z. Последовательность ф, (s) (_ Z называется сходящейся к нулю в Z, если их прообразы Фурье cpv (х) ? /С сходятся к нулю в К.
3. Преобразованием Фурье обобщенной функции /, т. е. функционала, действующего на пространстве К, называется функционал g—F(f), определенный на пространстве Z и действующий по формуле
(g, ф) = (2тс)я(/. ср),
где ф (5) (_ Z есть преобразование Фурье основной функции ср(х)?/С.
4. Дифференцирование и умножение на независимое переменное при преобразовании Фурье:
r[r{?)fhp<r-wifi
FlP(x)f\ = p(~i-§F)F[f\.
П+1
v ' P(i, t)=o
(те < /г — 1, /г нечетно);
га+2
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 433
F[/] = (/(x), е1 s)) = (/ (х), е~* (».«)).
7. F[S] = S.
8. Если «(x, t) есть фундаментальное решение задачк Коши для уравнения — р(л~^и = 0, то
f ц (х, t) при г > О, ?<*'0 = ( 0 при *<0
удовлетворяет уравнению
дЕ (х, t) dt
(Z ~Wx~)E(-X' 0 = S(*> О-
9. Преобразования Фурье конкретных обобщенных функций даны ниже в сводной таблице (стр. 446—456).
Глава Ш, § 1
1. Форма Л ере я со на поверхности P(xls x„).= G<
определяется равенством
dP • со — dxx . . . dxn\ в точках, где ^ 0, ее можно представить в виде
дР
dXj
2. Функционал 8 (P) определяется по формуле
(8(P). cp)= J'cp(x)a).
P=0
3. 0 (P) есть характеристическая функция области Р(х")^0. Имеет место формула дифференцирования
0' (Р) == 8 (Р),
5. Преобразование Фурье прямого произведения:
F[fXg\ = Flf]XF [g\.
6. Преобразование Фурье функционала, сосредоточенного в ограниченной области, есть функционал типа функции