Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
J* Ф (х) ср (х) dx по формуле
j Ф (х) ср (х) dx == J Ф (х) а
- ft! Zl Xl~-*» дх^дх'п
ср (X) — ср (0) —
Sot . = m
rfX
1
1,
(ft-1)!
сл.
Eot^. = ?re —1
X ™-
ср(О)
. . дх «
<р(х)-<р(0)-... rfx. (1)
Для однородности обобщенной функции, определенной равенством (1), необходимо и достаточно выполнение условий
J* Ф (х) х*1 .'.. x^dx = 0 (at+ . . . +оп= /я)
в — ав
для любого а или, что то же самое (см. пл. 3 и 4), условий
J Ф (х) xa,' . . . х'» со = 0 (в14- . . . +а№ = да). (2) г
Интегралы слева в (2) мы назовем аналогично предыдущему вычетами обычной однородной функции Ф(х) степени п — т.
Таким образом, для того чтобы обычной однородной функции Ф (х) целого порядка —п — т отвечала по формуле (1) однородная обобщенная функция степени — п — т, необходимо и достаточно, чтобы все вычеты этой функции были равны нулю.
Чтобы пояснить этот результат, сравним формулу (1) с формулой (8) п." 3. Если в первую из этих формул
25 Зак 460. И. М. Гельфанд и Г. Е, Шилов, вып. 1
386 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ . ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
подставить Ф(х) = / п т(х), где f (х) — положительная однородная функция степени 1, то получится формула (8) п. 3,
в которой интегралы j f~n~m (х) х^ ... х^ ю, т.е. вычеты
г
функции f~n~m(x), заменены нулями. С другой стороны, равенство нулю этих вычетов необходимо и достаточно для того, чтобы обобщенная аналитическая функция /л (х) не имела полюса при Х =— п — т, т. е. чтобы формула (8) определяла при Х =—п — т однородную обобщенную функцию степени — п — т. Если хотя бы один из вычетов f~n~m(x) отличен от нуля, то регуляризация (1) интеграла
J /-*-* (X)y(x)dx
дает уже присоединенную однородную функцию степени — п — т.
Заметим, что для целых значений X ^ —п, кроме обобщенных однородных функций, определяемых обычными функциями, нам известны еще однородные обобщенные функции, не связанные ни с какими обычными • функциями, а именно 8 (х) и ее производные. Производные k-ro порядка от 8 (х) представляют собой однородные обобщенные функции степени —п — k. Число различных производных &-го порядка в точности равно числу условий (2). В этом смысле общий запас однородных функций степени — п — т оказывается, как и для произвольной нецелой степени X, совпадающим с запасом непрерывных функций на замкнутой поверхности Г, охватывающей начало координат.
б. Обобщенная функция вида rxf, где /— обобщенная функция, заданная на единичной сфере. Всякую обычную однородную функцию размерности X можно представить в виде
Ф (хи .... хп) = Ф (rwv гш2, . . ., rwj = rxf(wv . . ., 0)„),
(1)
где /(«>х> • ¦ •• шп) — некоторая функция, заданная на единичной сфере 2: 20)?==1- Пусть для простоты ReX> — п. Соответствующий регулярный функционал можно предста-
5] § 3. однородные функции 387
О
оо
_ J r\+n-\u (r)dr,
где <р(jclf хп) — любая основная функция (из К), а а(г) = § ... J*/Oi.....а>„) <р (/-<о1( •••• ru^dQ.
2
Здесь, как обычно, d2 — элемент поверхности на единичной сфере 2.
Пусть теперь f(wlt .... (оп) — произвольная обобщенная функция, заданная на сфере 2. Тогда мы можем определить обобщенную функцию
Фл(*1. • • •. *я) = ^/К. • • •. «>«) (2)
по формуле
со
(Фх, <р) = JV+»-i«(r) dr. (3)
о
где
в (г) = (/, <р (гшъ .... гш„) ). (4)
Функция а (г) финитна и бесконечно дифференцируема, ибо ср(/¦«>!, гшэт) финитна и бесконечно дифференцируема
по г. Бесконечная дифференцируемость видна, например, из того, что
а, <гъ.. •, г»п) s ^ у (ГШ1> ^ ^ rwJ = ^ ю< jg,
i = l И т. д.
Из формулы (2) видно, что функционал ФЛ является при X =?=—и, —п—1, ... аналитической функцией X; в точках Х =— п, —п— 1, . . . он имеет простые полюсы.
i
вить в виде
(Ф (jflt .... хп), ср (jflt .... хп)) = j Ф<р dxx ... dxn =
со
= / Г^*-1 J/K.....(О^фСГШ!,----ГШ„) rf(0 =
25*
388 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
о о
1 оо
= f rx+n-l(a(r) — и(0)) dr-t- f гл+"-% (r)dr + y^L.
В полученном выражении первый и второй интегралы регулярны при Re X ;>—п—1. Поэтому при Х =— п вычет (Фх, ср) равен
а (0) == с ср (0),
где с = (/, 1) — значение функционала / на основной функции,
равной единице на единичной сфере Q. Таким образом, вычет
обобщенной функции Фх при X = — п равен с Ь (xt.....хп).
Легко показать, что если обобщенная функция / также
аналитически зависит от X, / = /х, и если эта аналитическая
функция регулярна при Х = — и, то обобщенная функция
Фх = гх/х при X = — п имеет вычет, равный с_п Ь (хи .... хп)>
где с_п — (/х, 1) при Х==—п. Определим теперь вычет
обобщенной функции ®x. = /"V(i»i.....сои)приХ = — п — k.
Вычет числовой аналитической функции (Фх, ср) при Х =
1 дк~1 = — n — k равен ^—^^-^«(г)
. Но
г=-0
U(r) = (j, ср^СО!.....гш„)).
Поэтому
fc-1
<Эг*
г=0
/. ^*=т? (га>1' rw»v:
'я*-!
Ба . = 4- 1 олг1 • • • J
-ср(0,...,0)(/, .....со».
