Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
полуплоскость» функцию У(—0n\S\- Следовательно, задача будет полностью решена, если мы сумеем определить
У(—0n\g\ как однозначную аналитическую функцию в «верхней полуплоскости» квадратичных форм. Для этого снова представим форму в/0 в виде
Sa = Pl-{-iP2,
где Рх и Р2 — квадратичные формы с вещественными коэффициентами, причем форма Р2 положительно определена.
336 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Существует невырожденное линейное преобразование
*г = 2 ьГ8у
s=l 8
с вещественными коэффициентами, приводящее формы Рх и Рг к виду:
Вещественные коэффициенты \и . . ., Х„ формы Рх не зависят от специального выбора такого преобразования и являются, таким образом, инвариантами самой квадратичной формы <^°. Имеем:
|*1 = |*12^1 + 0 ••• (*» + 9.
где \Ь\—определитель матрицы а потому
(— 0йI g\ = I ь |2(1 — V)... (1 — \ni).
Положим тогда
V(— оп \g\=iWc - V)* • • • (i-v>?. (8)
где значения квадратных корней определяются формулой
— — — Z
]/' z = j z |2 <? 2 , — тс < arg z < тс.
Функция, определяемая формулой (8), будет искомой однозначной аналитической функцией в «верхней полуплоскости» комплексных квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью. Итак, если
п
= 2 grsxrxs
г, s=l
^произвольная квадратичная форма с положительно определенной мнимой частью, то обобщенная функция является регулярной аналитической функцией от X всюду,
. п п . п ,
за исключением точекX = •—5-,--~—1.....—к- —
4] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 337
выч.
п , X—т-*
--— i п \ k
¦ =_, е * - У grn » Чх), (9)
**iT(»+*)YU=i^\\r& дХгдХш)
где \g\ — дискриминант квадратичной формы ?Р и функция У(—0™ |^| определяется формулой (8).
Аналогичным образом можно рассмотреть «нижнюю полуплоскость» квадратичных форм с отрицательно определенной мнимой частью.
Если форма
п
<F = P1 — iP2 = 2 grsxrxs
принадлежат «нижней полуплоскости», то обобщенная функция S?x также является регулярной аналитической
функцией от \ всюду, за исключением точек Х =— ^~
— у — 1, .... — 4 — «,..., в которых эта функция имеет простые полюсы. При этом
п , к
ВЫЧ
_»_fc 4* kl Г (4 + А) У> I g I Vr.t=i ^ 6X' 1
(9')
гд<? снова \g\ есть дискриминант формы и yi*\g\ выражается формулой, аналогичной формуле (8):
_ _ i_ ?
yr\g\ = y\b\2 (1+М)а • (i-r-V)a-
4. Обобщенные функции (Р-т-»0)хи(Р — *'0)Ч Используя результаты п. 3, мы можем теперь изучить любую вещественную квадратичную форму в степени X.
22 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, аып. 1
в которых эта функция имеет простые полюсы. При этом
338 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
*) Мы не останавливаемся на специальном случае, когда X — целое отрицательное число, не принадлежащее серии особых точек функции J>\ Отметим, не проводя доказательства, что в этих точках функция (Р + Й))х не имеет особенностей.
Пусть
п
. Г, 8 = 1
невырожденная квадратичная форма с вещественными коэффициентами. Тогда, по аналогии с функциями (je+-iO)x и (х — /0)х, рассмотренными в § 3 гл. I, мы определим обобщенные функции (P+-t'0)x и (Р— i0)\
Для этого рассмотрим квадратичную форму
<^ = Р+-/Р\
где Р' — положительно определенная форма (с вещественными коэффициентами). Нетрудно показать, что когда коэффициенты квадратичной формы Р' стремятся к нулю, обобщенная функция (Р -\—iP')x стремится к вполне определенному пределу. Этот предел мы и обозначим через (Р+-Ю)х.
Действительно, это утверждение очевидно при ReX>0, ибо в этом случае предельный переход можно производить
под знаком интеграла J ePxydx. С другой стороны, в силу
соотношения (6) п. 3
^ =-_i-.-L%&>x+*
4* (Х + 1) ... (Х + Л) (x + -J)...(x+^- + ft-l)
оно остается справедливым и во всех точках регулярности функции е7*х*)
Аналогично, обобщенную функцию (Р— ДО)Х мы определим как предел обобщенной функции (Р — iP')x, где Р' — положительно определенная форма, когда коэффициенты формы Р' стремятся к нулю.
Из определения обобщенных функций (Р +- t'0)x и (Р — /0)х вытекает, что они являются аналитическими функциями от X
всюду, за исключением точек Х =--7-,--——1, ...
4] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 339
V(—On\g\ = (s — iki) 3 . . . (е — Лп) 2,
где Xt.....Хет — собственные значения матрицы формы Р.
Предположим, что форма Р имеет в каноническом представлении р положительных и q отрицательных квадратов. Тогда при s —> О получаем:
Ига V(— iT\g\ = V\ *i • • • *» I (— 0*" ^
т. e.
e ->0
где д — дискриминант вещественной квадратичной формы P.
Применяя теперь формулу (9) п. 3 для выч. <^а\ получаем:
п ...
выч. (Р-1-Ю)х =
п
л та
22'*
Нетрудно убедиться также, применяя соотношение (6) п. 3, что в указанных точках эти функции имеют простые полюсы, причем
выч. (Р-)~Ю)Х = lim выч. (P-J-/P'),
