Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
рх — с-3 1 -1 I
+ — I п п • • •
(x+f+AJ Х+у + *
в окрестности точки X =--—— k выражаются формулами
g(*i= (~!) ]f ч *•**(*) 22*?!г(^ + *\
332 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
3. Обобщенные функции ?РК, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами. До сих
пор мы рассматривали исключительно квадратичные формы с вещественными коэффициентами. В этом пункте мы рассмотрим пространство всех квадратичных форм
п
#¦=2 graxrxs (1)
г, 8=1
с комплексными коэффициентами.
Нашей задачей является определение обобщенной функции <г7*х, где X— комплексное число. Однако в общем случае 47**- не будет однозначной аналитической функцией от X. Поэтому в пространстве всех квадратичных форм
?P = Px + iP2
мы выделим «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с положительно определенной, мнимой частью и определим для них функцию <^°х. А именно, если квадратичная форма принадлежит этой «полуплоскости», то положим
tf* _ еХ (in I 1+i arg <P)t
где 0 < arg 47* < тс. Такая функция е7*х является однозначной аналитической функцией от X.
Сопоставим теперь функции <&*х обобщенную функцию <^х:
(&>\ ?) == J &\ dX, (2)
где интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (2) сходится при ReX>0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией от X. Продолжая аналитически эту функцию, мы определим функционал ср) для других значений X.
Для квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью мы найдем теперь особые точки функций и вычислим вычеты этих функций в особых точках. Вычисления можно существенно упростить за счет приема, которым мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.
Обобщенная функция <^°х аналитически зависит не только от X, но и от коэффициентов квадратичной формы Тем
3] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 333
Линейным преобразованием хг=- 2 ar8xs мы можем привести
п
форму 2 araxrxs к ВИДУ г±— х'\ -*г •¦¦ ~\~хп- Якобиан
г, 8 = 1
этого преобразования есть - где \а\—-дискриминант
Y\a\ ¦
п
квадратичной формы 2 arsxrxa
г, s=l
Таким образом,
1т
~2~
(<^\ ?)=4== f r^dx', У \ а\ J
или
(<^\ ?)= е* f r^dx', (3)
самым е7*к является аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида 3^ = Pt -\- /р2> где Р2 есть положительно определенная форма. Следовательно, <^°х однозначно определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм вида <^> = /Р2, где Р2 — положительно определенная форма. Поэтому нам достаточно рассмотреть случай обобщенных функций вида (iP2)K. Но для этого случая задача была уже решена в § 3 гл. I, ибо положительно определенную форму Р2 можно всегда невырожденным линейным преобразованием привести к сумме квадратов.
«
Итак, пусть сначала форма = 2 8гахгха принадлежит
г, s«=l
«мнимой полуоси». Это значит, что grs=tar8(г, s=\.....п),
п
где ars — вещественные числа, и форма 2 arsxrxs положи-
r, s=l
тельно определена. Тогда
334 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
где | g\—дискриминант квадратичной формы <>Р, а У(— t)n\g донимается в смысле арифметического значения [(—i)n \ g есть вещественное положительное число].
Функционал (г3*, ср) был уже рассмотрен в п. 9 § 3 гл. I. Согласно приведенным там формулам единственными особенностями этого функционала, а следовательно и функционала (с$°х, ср), являются простые полюсы в точках Х = —
п 1 п и
— y——y — «,...; при этом
п
выч. г* = —2—г-Ъ(х).
П
Следовательно,
выч. <^л = - g 4 *'-г^т- 8 (*)• (4)
л~ а
Найдем вычеты функции <?7*х в других особых точках. Для этого сопоставим форме 47й дифференциальный оператор
где коэффициенты gra определяются из соотношений
п
2^8, = ^
8 = 1
(&t= 1 при г = г и 8? = 0 при гф{). Таким образом, матрица ||g"rs|| коэффициентов оператора Lg> является обратной к матрице \\gat\\ квадратичной формы. Имеем тогда
V <^+1 = 4 (X +1) (х 4- -J)
В справедливости этого соотношения можно убедиться непосредственной проверкой. Применяя это соотношение k раз, получаем:
l^+*^4*(x-h). • .<м-*)(и-?)¦ • .(x+4+«-i)^.
3] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 335
откуда
Тс ааХ+к
_.......... '____ . ________________ ......____
Следовательно, (6)
выч.
4*(Х+1) ... (K+k) (x + -?)...(x+-? + ft-l)
X
X выч. 1У^Х,
откуда, применяя формулу (4), получаем:
¦кпг п
ВЫЧ.
4 2
L%b(x). (7)
Формула (7) получена в предположении, что квадратичная форма 3* принадлежит «мнимой полуоси». Полученное выражение необходимо теперь аналитически продолжить в «верхнюю полуплоскость» всех квадратичных форм — P1-\—iP2 с положительно определенной мнимой частью. Но аналитическое продолжение оператора известно,
поскольку его коэффициенты аналитически выражаются через коэффициенты квадратичной формы ?7*. Остается невыясненным лишь, как продолжить на всю «верхнюю-
