Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(Р — lOff(P —10, X).
Очевидно, что если форма Р положительно определена, то (Р _|_ г'0)х/(Р + /О, X) = (Р — Ю)х/ (Р — /О, X) = рх/ (Р, X).
Кроме того, так как для всех целых положительных значений п справедливо равенство
(Р /0)п == (Р — Ю)п = Р",
то
/(P-f-Ю, Х)=/(Р —/О, Х) = /(Р, X).
Выразим теперь обобщенные функции (Р -4- /0)Х/(Р, X) и (Р — Ю)Х/(Р, X) через аргументы Р+ и Р_. Для этого мы заметим, что, как показано в п. 4,
«
(Р 4- Ю)х = Р+ 4- eiX7CP\,
(Р _ /о)х=р\ -j- «~ix"pi.
7] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 353
23 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, оып. !
Так как
P\f(P, Х) = РХ+/(Р+, X) и РХ_/(Р, X) = Pi/(P_. X), то отсюда следует, что
(Я Н- Ю)7 (Р, X) = Рх+/ (Р+, X) + eix*P\f(P_, X) (3)
и
(p_/0)V(P, Х) = РХ+/(Р+, Х) + «Г*Х"Р1/(Р_, X). (4)
Определенный нами класс обобщенных функций достаточно широк. К нему принадлежат, в частности, такие
обобщенные функции, как &2/х и ^ *JX{S^\ где
Ух (г) — бесселева функция. В этом легко убедиться, рассматривая разложение
_.fz\>x> (-1Г(т)
Л(*)~ (д) 2^т!Г(Х + т + 1) (5)
т= О
бесселевой функции в степенной ряд.
Наряду с функцией Jx(z) мы будем рассматривать функции Nx(z), н[1](г), Н{2) (г), 4(2), /Сх(г), которые при нецелых значениях X определяются формулами:
Nx & = [cos ~
Hx1\z) = Jx(z) + iNx(z), H{*>(z) = Jx&) — lNx(z),
4 (*) = *" 8 Л С*). *х(*) = у^1/^)-/х(г)Ь
Значения этих функций при целых значениях X определяются с помощью предельного перехода по X.
354 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
Разложения функций Nx(zu), н{1} (z1*), Н{2\гы), /x(z\ Ki (z'b) в степенной ряд при нецелых значениях X легко получаются из разложения (5) функции Jx (z). При этом оказывается, что эти функции принадлежат к рассматриваемому нами классу функций, что позволяет ввести такие обобщенные
функции, как КХ[(Р-{-Ю)*], (Р-{-Ю)~2Кх [(Р + iO)1] и т. д.
8. Преобразования Фурье обобщенных функций
(c2-{-P-\-iO)x и (с2-{-Р — Ю)х. Мы видели уже в п. 6 § 2 гл. II, что преобразования Фурье обобщенных функций (.х2—1)х, (1—л:2)х, (1-4-х2)х выражаются через бесселевы функции. В этом и следующем пунктах мы покажем, что то же самое имеет место и для преобразований Фурье обобщенных функций (ся-\-Р)х и (c2-f-P)x_, являющихся га-мерными аналогами обобщенных функций (х2 — 1)х, (1 — х2)х, (l-f-x2)x.
Начнем с рассмотрения обобщенной функции (с2-\-Р)х для положительно определенных квадратичных форм Р. Преобразование Фурье обобщенной функции (с2-\-Р)х при
ReX<— у задается интегралом
F[(c2 + P)x] = ^ (с2-\-Р)х el^^dx, (1)
где (х, s) — XySy -4- . . . -j- xnsn.
Рассмотрим сначала случай, когда форма Р имеет кано-
п
нический вид 2 х\- Очевидно, что в этом случае Обобщение
ная функция F [(с2-\-Р)х\ зависит только от \s\—длины вектора s. Поэтому, не теряя общности, мы можем считать, что вектор s имеет вид s=(|s|, 0, 0, .... 0), и, следовательно, интеграл (1) имеет вид
. J. (с2 -(- | х [2)х !3 I dх, (21
где ReX< —-j-
8] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 355
a
со ™+x
/ ^ (с2 + г2)х /„ _ x (r I s j) dr = (jlr-)^1 гт=гху^»+х <c 1s D-
0 2 2
Поэтому интеграл (2) равен при Re X < — ^- следующему выражению:
(С2 _|_ | х (2)Х в1а», |« I ^ _.
= г(-х) (ттг) *«+х(сМ>- (3)
При остальных значениях X справедливость формулы (3) устанавливается с помощью аналитического продолжения по X.
Чтобы получить формулу для преобразования Фурье любой положительно определенной квадратичной формы, запишем равенство (3) в виде
У"Д J (с2 -4-1 х |2)х е* <»¦ dx —
83*
Для вычисления интеграла (2) перейдем к полярным координатам. Проинтегрировав по углам ср2, .... <pn_i и при-
о 2(У"^)П_1 няв во внимание, что «w_i = _1 . , мы получим, что
r(V)
интеграл (2) равен
^ ОО 1С
2(~/1 —1\ f f(c2Jr r2)xeir 1 s ,cos *' smn-3cplrn_t rfcpl
Г(^-2~)° 0 Но известно, что
/ eir\ в I cos <p, Sinra-2cpi rfcpi___V-?-^-Л»_ t (^ I S J ),
о ^rls^Y-1 2
356 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
Y А У (C2-f-P)M^s)rfX:
Г (— X) i /га
0»
Полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Пусть Р — положительно определенная квадратичная форма, a Q — двойственная ей форма. Тогда преобразование Фурье обобщенной функции (с2-\-Р)х равно
2х+1(У2тс)пДТ>
Р Кс2 + Р)х] =--==---, (5)
Г(-Х)УД Q|(f+x)
где Л — дискриминант формы Р.
Пусть теперь Р — произвольная вещественная квадратичная форма. В этом случае мы будем рассматривать обобщенные функции (с2-j-Р-l-1^)^ и (с2~~\~Р — 4'0)х> определяемые соответственно равенствами
(c24-P4-iO)x=lim(c2-r-P-|-/eP1)i (6)
8 >0
И
(с2 + Р — Ю)х = lim (с2 -4- P — lsPtf, (7)
(дискриминант А квадратичной формы |л'|2 = 2 х\ равен единице^. При преобразовании координат, переводящем
п
форму \х\2 в форму Р = 2 gkrxicxr' выражение УДй?х
