Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
выч. (Р —/0)х = lim выч. (Р — iP').
Р'->0 x-~-fc
Чтобы отыскать эти вычеты, достаточно поэтому найти предельные значения функций Y(—On|g"l и V~in\ g\, где \g\—дискриминант соответствующей комплексной квадратичной формы Р ± iP', когда Р' обращается в нуль.
Не нарушая общности, можно предполагать, что форма Р' имеет вид
P' = 8(*«-f-...-f-j?), е>0. Тогда выражение для ]/"(—0n\g\ можно представить в виде
340 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
1Z . fl
Ак k\ Г + V
(п
СП
Таким образом, вычетами функций (Р-\~Ю)Х и (Р— /0)х
в точках Х =--^ > —-у—1.....--2— • являются
обобщенные функции, сосредоточенные в вершине конуса Р = 0.
Функции (P-f-t'0)x и (Р— /0)х выражаются следующим образом через обобщенные функции Р+ и Pi, определенные в п. 2:
(Р -+- iOf = Рл+ 4- е*м Pi, (2)
(Р — Ю)х == f»V 4- в~ш Pi. (2')
В самом деле, при ReX > 0 функционалам (Р+, ср) и (Pi, ср) соответствуют функции
+ ~{ о,
Рх_
Р\ когда Р > 0,
когда Р 0;
j 0, когда Р>0.
( (— Р)х, когда Р<0.
В этом случае соотношения (2) и (2') вытекают непосредственно из определения функций (P-f-/0)x и (Р — /0)х'. Но тогда, в силу единственности аналитического продолжения, формулы (2) и (2') остаются справедливыми и при других значениях X.
Отметим попутно, что в силу соотношений (2) и (2'). при Х=0, 1, 2, ... функции (P4-i0)x, (Р — /0)х и Рх совпадают.
Установим теперь на основании формул (2) и (2') связь между вычетами функций Р+ и Pi при Х = — ^—k
Аналогично, имеем: выч. (Р — *0)х —
4] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 341
Согласно (2) и (2')
"+ = ¦
+ — 21 sin тЛ
\х /г> »п\х
Р'
л
(Р+(0У-(Р-Ю)\ (3)
2/ sin тсХ
Отсюда, используя выражения (1) и (1') для вычетов функций (P-]-iO)x и (Р — Ю)\ получаем: если размерность пространства п — нечетное число, а также если п — четное число up, q — четные числа, то с^к\ = с'-\ =0; если же р и q—нечетные числа, то
С-1 = (- 1#+"+1 с'*\ = 3 *' _ L|8 (х).
4* «Г^+*)У|Д|
n
где Z.p = gr8 дх ^x . Эти же результаты были уже по-
г, 8=1 Г 8
лучены другим методом в п. 2.
Далее, из соотношения (2) имеем:
выч. (Р-Н0)*= выч. РА++- выч. e"x,Pi,
откуда
вы
ч. (Р 4.Ю)х = <а 4- ^+к)' + **Г" ^ •
Х= -4-А
(я = 0, 1, .. .)• Лорановские разложения этих функций в окрестности точки Х =--^ — й имеют вид:
^- = -7-7г \в Г"-^--+-•..
342 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
а а
"а
* л /*8(*); (4)
4*А!г(-? + а)У|Д|
если же р и q — нечетные числа, то
выч. Р\-\-е *(»+*)* выч. Рх_ = 0. (5)
Отметим, кроме того, что если п — нечетное число, а также если п — четное число и k -< ~, то, согласно формуле (2),
выч. Р+-К— if выч. Рх_ = выч. (Р-1-Ю)х = 0. (6)
Х= — к Х= —к Х=~ к
Будем предполагать с этого момента, что квадратичная форма Р имеет канонический вид:
Р = х{+....-\-х*р — х»
р+1 • • p+q.
В п. 2 были найдены явные выражения для вычетов функций Р+ и Р). через обобщенные функции b{k) (Р), &{к){—Р) =
= (— 1)кЪ(к)(Р) и 8(х). Подстановка этих выражений в равенства (4), (5) и (6) дает:
8i*>(P) — 8SV)=cPf 3+15(х),
где
Подставляя сюда выражения для выч. (P-|-iQ)x и c'J_k),
получаем: если размерность пространства п — нечетное число, а также если п — четное число и р, q — четные числа, то
выч. р\ + е-*&+*)* выч. РА_ =
4] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 343
и сР)д>й = 0, если размерность пространства п — нечетное число, а также если п — четное число и4<| — 1; в остальных случаях коэффициент ср q к может быть легко подсчитан на основании формул ri. '2.
Итак, если размерность пространства п — нечетное
число, а также если п — четное число и я < —1, то &[к) (Р) — Ъ2к\Р)- Если же п — четное число, то при k^-~2 — 1 разность Ъ[к) (Р) — Ъ(2к)(Р) есть обобщенная функция, сосредоточенная в вершине конуса Р = 0.
Согласно общей теории, которая будет рассмотрена в § 4, более естественные определения однородных обобщенных функций, сосредоточенных на поверхности Р — 0, состоят в следующем (см. ниже, стр. 410):
o(fc> (Р.) = (—1)& k\ выч. Р\
и аналогично
(Р-) = (—1)* k\ выч. Р]_.
Х=-7с-1
В случае нечетномерного пространства, а также в случае чет-номерного пространства размерности п при k<^-^ — 1, имеем:
= ?)(*) (Р), &<*) (/>_) =- Ъ(р (— Р);
, . п ,
в случае же четномерного пространства при я^--^--1 разности
ь(к) — ь(к) (р) и ь{к) (р_) — 51Й) (— р)
являются обобщенными функциями, сосредоточенными в вершине конуса Р = 0.
В силу соотношений (4) — (6), если р и q являются одновре-
п
менно четными числами и я > -?г — 1, то
q п
(-D
во всех же остальных случаях
344 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
5. Фундаментальные решения линейных дифференциальных уравнений. Используем результаты, полученные в пп. 3 и 4, для отыскания фундаментальных решений уравнений
