Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Lku = f(x), (1)
где L — однородный линейный дифференциальный оператор вида
и k—l. 2, ...
Напомним, что фундаментальным решением уравнения (1) называется такая обобщенная функция К, что
1кК = Ъ(х). (2)
К уравнению (1) при k=l приводится, в частности, любое линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, содержащее только старшие производные. Это уравнение обычно называют ультрагиперболическим. При р или q, равных нулю, оно превращается в уравнение Лапласа, а при р или q, равных 1,—в волновое уравнение.
Решение уравнения (2) естественно искать в виде однородной функции, поскольку оператор L и стоящая в правой части функция 8 (х) однородны (либо присоединенной к однородной; см. определение в § 1). Так как после 2&-кратного дифференцирования функции К получается функция Ъ(х), имеющая степень однородности — я, где п = p-\-q — размерность пространства, то степень однородности функции К должна быть равна —n-\—2k.
С другой стороны, уравнение (2) инвариантно относительно линейных преобразований, сохраняющих форму
р = х2-\- ... + xi — x2— ... —х2
1 1 1 р р+1 p+q
Решение этого уравнения будем строить в виде
/С = /(Р).
В п. 4 были рассмотрены однородные обобщенные функции от Р: (Р-^/О)* и (Р— /0)\ При Х = — + A эти функции имеют нужную степень однородности —n-\-2k.
5] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 345
Мы покажем сейчас, что за исключением случая, когда размерность п пространства — четное число и k ^> ,
каждая из функций (P-\-iO) 2 и (Р—Ю) 2 является, с точностью до постоянного множителя, фундаментальным решением уравнения Lku=f(x).
Воспользуемся соотношением, установленным в пп. 3 и 4:
/,*(Р-4-Ю)х+* =
=4*(л+1). . .(Х+«)(х+|-). . .(х + |-}-«_1)(Р+Ю)\ (3) Отсюда при X =--~ получаем:
п
?*(/>-т-/0)~2 + =
= 4*(l — 1)! выч. (P-f Ю)Ч (4)
Отсюда видно, что размерность п пространства —
четное число и k у, /по правая часть равенства (4) обращается в нуль, и мы получаем:
п
Lfc(P-f-/0)"+. =0, -2-+*
т. е. функция (P-\-i0) 2 является решением однородного уравнения, соответствующего уравнению (1).
Во всех же остальных случаях, подставляя в (4) выражение для выч. (Р-р-Юу-, получаем:
Л 2 --?-+*
?*(Р-Н0) 2 =
TZ.fl
= 4^1-^)...(*-|)(*-l)i^-|l-SW.
346 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Следовательно, функция
*! = (—!)*-У--~(Р-\-Ю) 2
4к (k — 1)! тс
2
является фундаментальным решением уравнения Lku=f(x).
Таким образом, за исключением случая, когда размерность п. пространства — четное число и k ~^>> , функция
^ = -\А-i(P + lO) 2 (5)
4* (ft _ 1)! ж з ц, аналогично, функция
/С8=(-1)*- , (р~f°) 2 <5')
4fc(A —l)!7c2
являются фундаментальными решениями уравнения Lku — /(x). Если же п — четное число и к^>^, то функ-
---ЬЙ ---f-ft
ция (P-f-г'О) 2 = (Р—Ю) 2 является решением соответствующего однородного уравнения Lku— 0.
Заметим, что фундаментальные решения К\ и К2 комплексно сопряжены.
Формулы (5) и (5') представляют собой наиболее удобное задание фундаментальных решений уравнения Lku=f(x). Можно было бы искать вещественные фундаментальные решения этого уравнения, комбинируя вещественные и мнимые части функций К± и Кг- Однако в зависимости от того, четна или нечетна размерность пространства п, а также четны или нечетны числа р и q, формулы для вещественных фундаментальных решений уравнения Lku — f (х) оказываются при этом существенно различными.
Формулы для фундаментальных решений Кх и К2 уравнения Lku = f\х) можно преобразовать, выразив эти функции непосредственно через обобщенные функции Р+ и Р\..
5]
§ 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 347
Воспользуемся для этого формулами п. 4, выражающими функции (Р-\~Ю)Х и (Р— Ю)х через функции Р+ и PL Если размерность пространства п нечетна, то функции Р\ и Р\ регулярны при Х =— ^-\-k, и мы получаем:
Kl = K2 =
4к (k — 1)! тс 3
Если же га — четное число и Аг<^, то функции Р+ и РХ- имеют в точке X = — ~-\~k простые полюсы с вычетами
выч. Р% = (~~ 1):
выч. Pi
(-1)
(l-.-l)i
§4 2
-+*
Обозначая через Р+ 2 и Р_ 2 свободные члены лора-новских разложений функций Р\ и Р*_ в окрестности точки Х = — -^--j-fe, получаем:
ег Г
ATi=A:2=(-l)fc
4к (fe — 1)! тс
П , 7. 78 . 7 ^ 7
р:^+*+(-1)"т
(Ь*-0'
(7)
Из формул (6) и (7) вытекает, в частности, что функции Ki и Кг линейно независимы. Обобщенная функция К\ — Кг является при этом решением однородного уравнения Lku — О,
348 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
п
Подставляя сюда выражение для выч. (Я-{-/0)\ мы уста-
новим, что в случае пространства четной размерности п фундаментальным решением уравнения Lku — f(x) при
является присоединенная функция
*i = (— I)2 —т--т-(Я-4-/0) а 1п(Я+Ш).
Аналогично, другим фундаментальным решением уравнения Lku = f(x) является в этом случае функция
