Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
4) вся прямая за исключением одной точки х = а.
Значения а&\, и а<") мы приведем без вывода:
230 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [5
(1 —х2)1 ср(х) dx
-1
сходится при ReX>—1; при других X его регуляризация (аналитическое продолжение) получается по формулам, указанным в § 3 гл. I. При этом выясняется, что обобщенная функция (1—х2)^ аналитична всюду, за исключением точек Х =—1, —2.....—k, ..... в которых она имеет полюсы;
вычет в полюсе Х = — k равен----гг-=4--. Здесь
(к — 1)!
(1—х2) — обобщенная функция, определяемая формулой
а'*-1* (1 - х2) = щ?± (х-1) - а'*-1' (х +1)].
Аналогично обобщенная функция (1-|~х2)х, определенная сходящимся при Re X ¦<—интегралом
(1 Ч-х2)х ср (x)dx,
аналитична при всех X, а обобщенная функция (х2—1)^,
определенная как сумма сходящихся при — l<ReX<--~
интегралов
-1 ' со
f (1 — х2)х ср (х) dx -4- j* (1 — x2f ср (х) dx,
Линейным преобразованием переменного х (сдвигом и растяжением) можно свести функцию (ах2 -\-bx ~\- с)х+ к одному из следующих типов: в случае 1) к (1—х2)^; в случае 2) к (1-4-х2)Ь_ = (1 Н-х2)*; в случае 3) к (л:2 — 1)*_; в слу-чае 4) к х+. Последний случай нас интересовать не будет, так как функция х+ и ее преобразование Фурье изучены выше.
В первом случае интеграл
5] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 231
Если f^oXO, то чтобы слева интегрирование производилось в сторону возрастания х, надо поставить перед интегралом знак минус; таким образом, в общем случае
b(f(x))<b(x)dx = . (Н)
Эти наводящие соображения делают естественным следующее определение. Пусть f(x)—дифференцируемая функция, имеющая один и притом простой корень х = х0. Обобщенная функция В (f(x) ) есть функционал, определяемый формулой (II), где ф (л:) — любая основная функция.
Пусть теперь /(х) имеет произвольное число простых корней. В этом случае естественно определить о(/(д:)) формулой
*
fb(f(x))nx)dx^yiJP^T, (III)
аналитична при Хф—1, —2, ... и имеет в точке Х = — k
полюс с вычетом--—^_^,-- . Здесь ег (л:2—1) —
обобщенная функция, определяемая формулой
S^V— 1) =(— -*2) =
В связи с приведенными определениями дадим общее определение обобщенных функций 5(/(jc)) и 8W(/(jc)).
Пусть сначала f(x)— бесконечно дифференцируемая функция, имеющая единственный и притом простой корень при х = х0, причем /' (х0) >¦ 0. Сделаем в интеграле
J* 8 (О ? (О Л = ср (0) (I)
подстановку t=f(x). Формула (I) перепишется в виде
/»(/(¦*))? (/ (¦*)) /' (¦*) dx = y (0); положив ср (/ (х)) /' (х) = ф (х), получим:
232
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
где суммирование производится по всем корням уравнения / (х) = 0; можно переписать ее в виде
b^w>=S|(rk)i5("-^)- (IV)
п
Например, 5 (sin х) = 2 ° (х — жп)-
п
Определение 8^*' (/(х)) легко получить из (IV) формальным дифференцированием. Дифференцируя формулу (IV) один раз, получим:
»' </(*) )/' (х) = 2 W±-ff §-хЪ(х- хп). п
На /' (х) можно разделить, так как /' (х) в точках х = хп не обращается в нуль:
8' «Ю)-%\ГЫ\ Ах)2хЬ<х-*Л
п
Продолжая дифференцирование, приходим к следующему определению:
Найдем преобразования Фурье обобщенных функций (1 — х2)х+, (1-\-х2)х, (х2—1)*_. Эти преобразования Фурье при тех X, при которых соответствующие интегралы сходятся, выражаются через бесселевы функции; в силу единственности аналитического продолжения эти выражения сохраняются и при других X. Интересно, что при целых значениях параметра X удается выразить эти преобразования Фурье через элементарные функции и через производные от 8-функции. Тем самым устанавливаются связи между бесселевыми функциями, с одной стороны, и производными от S-функции, с другой.
Мы начнем с вывода преобразования Фурье обобщенной функции (1—х2)\ При ReX>—1 имеет место формула *)
j(1 —xzfgixs <Ix = VkT(\-{- 1) ¦•/!.(,). (2)
_1 2
*) И. М. Рыжик и И. С. Град штейн, Таблицы, 1951, стр. 345, формула 6.413, 3.
5] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 233
(-1)
та-1
1
. я—;г
(«-1)1
Этот вычет можно выразить и иначе. Для этого разделим обе части равенства (2) на Г (X-4-1) и найдем предел при X—>•— п. Так как
(1 -
то
хЧ-п Г(Х+1)
^™(тГ 2y-„-i^= f ^(l-x^e^dx. "(4)
Последний интеграл, как нетрудно подсчитать, равен 1 -2»-i роз А
Это и есть второе выражение вычета при X — — га. При целых Х = га>0 легко получается формула
1
(1 — л;2) е dx —2 п\(— 1)-- ——- .
К (s ds)n \ 8 )
(5)
(6)
Для доказательства этой формулы заметим, что она справедлива при п — 0. Пусть формула (6) справедлива для некоторого п. Применяя к обеим частям равенства (6)
Функция, стоящая справа, а следовательно и функция слева, аналитична при всех X, кроме Х =—1, —2, ...; в этих точках рассматриваемое выражение имеет простые полюсы.
Таким образом, преобразование Фурье обобщенной функции (1 —х2)\ выражается формулой
^[(1—^+] = "К«Г(Х-|-1)(-5-)""" Vx + i (*). (2')
