Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
и т. д.
Аналогично можно подсчитать и преобразование Фурье от хх_. Для этого нужно, предположив сначала, что — l<ReX<0, вычислить F [хх_е~хх], где i < 0, а затем перейти к'пределу при т —у—0. При этом получается:
о
F [хх_е-*х] — J \xx\eiaxe-txdx =
СО СО
1).
Фурье обобщенной функции f\'. g\='f\. Первое означает, что числовые функции От X
(Л, <р) и (gx, Ф),. (*)
где ср и ф — основные функции, аналитичны в области G, а второе,— что в области Glt если ф = <Р> функции (-Х-) связаны равенством .
(g\, Ф) = 2я(Л, '(*¦*)¦
В силу единственности аналитического продолжения равенство (-Х-*-) сохраняется в области G и, следовательно, в области G обобщенная-функция gx также является преобразованием Фурье обобщенной функции /х- - -
3] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 217
F[xi.] = — le U 2r(X-f-l)(o —/0)"х_1
и при всех X
Г х\ I -гХЛ-
Ю)
-Х-1
(9)
При кфО, ± 1, ±2,. . ., подставляя выражение (о—ДО) находим:
F[x_] = /r(X-4-l)
Ijx~t -х-1
-гх
-х-1
(10)
При к — п (п — 0, 1, 2, . . .) получаем:
F [xl] = [(—1 )Л+1яlo-*-1 — S(«) (о)]. (11)
Перейдем теперь к обобщенным функциям | х \х и |x|xsgnx. Складывая и вычитая формулы (4) и (10), мы находим: при X ф 0, ± 1, ±2, . . .
Хтс
F [ | х \х\ = F[xA+] 4-F [хА_] = — 2 Г (X + 1) sin Щ-1 о(12)
F [ | х \х sgn х] = F \х\\ — F [хх_] =
=2/r(X-|-l)cos^-|o|-x-isgno. (13)
Разделяя обе части равенства (12) на Г {^"\ ^ и применяя формулу удвоения для гамма-функции *), получаем следующую изящную формулу преобразования Фурье для целой
-— 1x1х функции fx (х) = 2 2
F[fx(x)] = F
I X |х
__х_
2 2
x+i 2 2
-x-i
_ г(-т)
l^*/.^ (о).
(12')
*) Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс, т. 2, 1949, стр. 784.
Отсюда для X Ф —1, —2, ......
(8)
218 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [3
Аналогично, при Х = л (л. = 0, 1, 2, . . .) из формул (5) и (11) находим
F[\x\n]e=F [xl\ + F [xtL] = [(1 + (— а"""1 л! +
+ ((—l)n+1 —1)йг8<~>(а)], (14)
F [|x Iя sgn x]==F [x^\—F [x*.J = ^+M(l -(— l)n+1) o-»-in! -f-
+ ((— l)n+l+l)te8W(o)]. (15)
В частности, для л четного, « = 0, 2, 2k.....
Р[хЩ = {— 1)*2тг8(2*>(а), (16)
F [ I х sgn х] = 2/ (— 1 )& (2Л) 1 о - » -1. (17)
а для л. нечетного, л = 1, 3, . . ., 2k-\—l.....
F[x2k+1] = 2ти(— l)fe+18(2ft+1)(a), (18)
/7[|х|2*+1] = 2(— l)fc+1(2A:+ l)!a-2ft"2. (19)
Обобщенные функции j х |х и |x|xsgnx сохраняют непрерывность и при целых отрицательных X; первая — при четных значениях Х = —2k — 2, вторая — при нечетных значениях Х = —2k — 1 (k = Q, 1, 2, ...). Формулы преобразования Фурье для этих обобщенных функций получаются непосредственно из формул (12) и (13), если применить к ним еще раз оператор F, использовать формулу FF [f (х)] = 2it/(—х) (§ 2, п. 1, формула (5)) и в результате заменить х на о и о на х. Мы получим, таким образом,
F [х-*-*\ = (—1)*+* pk + l)l i ° I2*""1' (20>
F[x-*-i] = t?j^ix}\2*Sgnam (21)
Преобразуя аналогично формулу (13) и полагая gx(x) —
2 г | х Iх sgn х
--- - - находим
. 3] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 219
Таблица 1
№J6 п/п
Обобщенная функция
Ее преобразование Фурье
1
2
Л(х)=2~1Г U|X
r(l+l)
-2sin^r(X+l)|a|-A-1 Y2H /_X-i(<0
3
| х|х sgn х (X=?—2, —4, ...
2/cosГ (X4- 1) |e|-x-18gno
4
5 6
7
8
9
X™
хх+(\ф—1,—2,...)
2 (— /)»» л о(»в) (a) /«•тс
--—- a"»-l sgn a
(m — l)l s
/7с sgn a
— Ttj 0Г|
Г a —
*T(X+1)U 2a-x-1 —
10 11
12
xn 8(jr)
xk_ (X ф —1, —2, ...)
*x TC
= // 2Г(Х-Ы) (a+ Ю)_Л-1*) i»+i/z! a-»»-i -j- (— i)n ъЪМ (x) lo-i _j_ „5 (a)
гТ (X + 1) [<?U 2alx-1 —
13 •14
(x -f- Ю)х (x — Ю)х
ТС "1 TC
ХГ(1+1)(5-Ю)-ы*) Г(-Х)* -Г(-Х)* +
*) Первое — при X ф 0, ± 1, ± 2, ...
220 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
Мы видим, что эти формулы получаются из формул (12) и (13) подстановкой Х =—2k— 2 и Х =—2k—1 соответственно.
Этим же приемом, применяя вторично оператор F к формулам (3) и (9) и заменяя —X—1 на X, можно получить формулы преобразований Фурье для обобщенных функций (л: -f- /0)х и (д- — Ю)х:
/Ч(* + ВД=^Ьто 01х-1; (22)
-ixi
F 1(х _ /О)*] = (23>
Полученные нами здесь формулы сведены в таблицу на стр. 219.
4. Преобразования Фурье обобщенных функций л?+1п х+ и аналогичных *). Дифференцируя по X преобразования Фурье, найденные в предыдущем пункте, мы получаем новые формулы преобразований Фурье. Так, дифференцируя формулу (2) предыдущего пункта, мы находим: при Хф—1,—2....
ix тс
F [х\ In х+] = ie ~* |Г (Х4-1) (о -1~Ю)~Х_1 —
— Г(Х+ 1)(о + |0)~Л"Мп(о-|-Ю) ¦+-
+ / ~ Г (X + 1) (о + /О)"'-1} = ie*"* {[Г (X 4-1) -Ь
4/|Г(Х+1)] (а4Ю)-Х-1-Г(Х41)(а4Ю)-Х-11п(о4Ю)}.
(1)
Аналогично, дифференцируя формулу (8) п. 3, находим, что при X Ф—1, —2, ...
F [лгХ_1пл:_] = — ie~l т |[г'(^41)—^ Г(Х4-1)] (о—Ю)~х_1_ — Г (X -\- 1) (а — Ю)_Х_1 In (а — /0)} . (2)