Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 69

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 125 >> Следующая


\ Д„ ) N~>C°\ [a|<JV /

= lim

N ->со

/ Ф («») (/. (°- "О ^= /Ф («) (/. *>) da,

что и требуется.

В качестве примера найдем преобразование Фурье от сингулярной обобщенной функции 8 (г—а), отвечающей однородному распределению массы с плотностью 1 по

Интеграл по ограниченной области G есть предел интегральных сумм

= 2 ,и^>«~*(в',в) д^.

Суммы sN (х) стремятся к интегралу по области G равномерно в каждой ограниченной области изменения х, так же как и любые их производные по х. Поэтому, превращая их обычным способом в основные функции (умножением на фиксированную основную функцию, равную 1 в окрестности носителя /), мы получим последовательность, сходящуюся в пространстве К.. Отсюда следует, что

(/.^) = 2H^)(/,a-i<Va'))A,,

имеет пределом

4] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 247

^>=<-о"^(Ш'(М(г))-

*) И. М. Рыжик и И. G. Г р а д ш т е й н, Таблицы, 1951, стр. 165, формула 3.227,3 (положить х = cos 0).

сфере Ua радиуса а с центром в начале координат: (8 (г — а), ср) = J* ср (х) dx.

Функция 8 (г— а) сосредоточена в ограниченной области; по доказанному, ее преобразование Фурье есть функция

F [8 (г — а)] — (8 (г — а), е- <*• ">) = JV (*• •> tfjc.

Переходя к сферическим координатам (л = | х | = а, р = | а |, б — угол между векторами х и о), находим:

F [8 (г — а)] — j eia?cos ean~1 sin""1 б a*9 tfw =

= a"-1Qn_1 J* eiaecos 8 sin"-1 9 a*9 , о

где do>— элемент поверхности сферы в (п — 2)-мерном подпространстве, ортогональном к вектору р.

Как известно, полученный интеграл выражается через бесселевы функции *):

F\b(r — а)\ = a^Qn_t (ap)1" 2Jn_3 (ар) =

= Qn_ia 2р " 2 J„_3 (ар). (2)

2

При п нечетном, п = 2т-\-Ъ, бесселеву функцию можно выразить через тригонометрические функции (§ 2, п. 6, формула (7'))

JL(z) = ^r^sinz,

248 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4

В частности, при п — Ъ, т — 0

(3)

z=op

F[b(r — а)] = 2теа2У_1 (ар) = 4ira . (4)

2 р

С другой стороны, при любом п — 2т -\- 3 можно использовать известную формулу *)

(5)

Заменим в (2) аргумент ар на z; тогда мы получим:

1 --1

pn-2±F[b(r_a)]:==Qn_ijn ,z)z*

a __i

и по формуле (5)

или, произведя обратную подстановку z~ap, dz — р da,

p^flF^r-.)^^]/" | sin ар.

Так как преобразование Фурье совершается по переменным х, а дифференцирование — по параметру а, то

В результате получается интересная формула

*) И. М. Рыжик и И. С. Градштейн, Таблицы, 1951, стр. 359, формула 6.482,3.

Таким образом, при п — —[— 3 мы имеем: F[b(r — a)] =

= 2

1]

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

249

5. Преобразование Фурье как предел последовательности функций. Метод, изложенный в п. 4, может помочь и при разыскании преобразований Фурье произвольных обобщенных функций (не обязательно финитных).

Пусть / — произвольная обобщенная функция. Как мы знаем (гл. I, § 1, п. 8), функционал / можно представить как предел функционалов /,, каждый из которых сосредоточен в ограниченной области. Преобразование Фурье функционала /„, по доказанному, есть функция gv(s). Так как оператор Фурье переводит сходящуюся последовательность функционалов снова в сходящуюся последовательность, то можно получить искомое преобразование Фурье функционала / как предел (по сходимости в Z') последовательности функций g^ (?) при v —> со.

В частности, для любой (обычной) функции f(x) (как угодно быстро растущей) преобразование Фурье может быть определено как предел (в смысле сходимости в Z') последовательности обычных функций

ffv(°)= / /(х)е*(*-°)ах. (1)

|аг| <v

Если функция f(x) имеет рост не выше степенного и определяет тем самым функционал на пространстве 5, то интеграл (1) сходится к преобразованию Фурье функции f(x) также в смысле сходимости, установленной для пространства 5' (т. е. на всех основных функциях Ф(а)^5). В частности, функционалы g"v(a) сходятся' к своему пределу g(a) на всех финитных бесконечно дифференцируемых функциях в смысле сходимости в пространстве К'. Мы встречались уже с такими фактами в примерах, приведенных в гл. I, § 2, п. 5.

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Предварительные замечания. Преобразование Фурье в его классической форме является одним из важных методов при решении задач, относящихся к дифференциальным уравнениям. Но область применимости метода преобразования Фурье ограничивалась, в основном, классом интегрируемых во всем пространстве функций или их степеней. Использование преобразования Фурье в комплексной плоскости

250

ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

[2

позволило включить в область применимости метода Фурье и функции экспоненциального роста, но с Обязательным условием равенства этих функций нулю при отрицательных значениях аргумента. Это относится и к преобразованию Лапласа *), которое представляет собой модификацию преобразования Фурье. В двустороннем преобразовании Лапласа, которое положено в основу известной книги Ван-дер-Поля **), допустимым функциям разрешается при экспоненциальном росте в сторону х—>--j-co быть отличными от нуля при х < 0, но с экспоненциальным убыванием, обеспечивающим наличие полосы существования преобразования Лапласа в комплексной плоскости. Другой изящный метод построения операционного исчисления предложен Я. Мику-синским ***); этот метод (развитый пока что только для функций одного переменного) позволяет рассматривать функции произвольного роста в сторону х—>-\-со, равные нулю при отрицательных х.
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed