Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
\ Д„ ) N~>C°\ [a|<JV /
= lim
N ->со
/ Ф («») (/. (°- "О ^= /Ф («) (/. *>) da,
что и требуется.
В качестве примера найдем преобразование Фурье от сингулярной обобщенной функции 8 (г—а), отвечающей однородному распределению массы с плотностью 1 по
Интеграл по ограниченной области G есть предел интегральных сумм
= 2 ,и^>«~*(в',в) д^.
Суммы sN (х) стремятся к интегралу по области G равномерно в каждой ограниченной области изменения х, так же как и любые их производные по х. Поэтому, превращая их обычным способом в основные функции (умножением на фиксированную основную функцию, равную 1 в окрестности носителя /), мы получим последовательность, сходящуюся в пространстве К.. Отсюда следует, что
(/.^) = 2H^)(/,a-i<Va'))A,,
имеет пределом
4] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 247
^>=<-о"^(Ш'(М(г))-
*) И. М. Рыжик и И. G. Г р а д ш т е й н, Таблицы, 1951, стр. 165, формула 3.227,3 (положить х = cos 0).
сфере Ua радиуса а с центром в начале координат: (8 (г — а), ср) = J* ср (х) dx.
Функция 8 (г— а) сосредоточена в ограниченной области; по доказанному, ее преобразование Фурье есть функция
F [8 (г — а)] — (8 (г — а), е- <*• ">) = JV (*• •> tfjc.
Переходя к сферическим координатам (л = | х | = а, р = | а |, б — угол между векторами х и о), находим:
F [8 (г — а)] — j eia?cos ean~1 sin""1 б a*9 tfw =
= a"-1Qn_1 J* eiaecos 8 sin"-1 9 a*9 , о
где do>— элемент поверхности сферы в (п — 2)-мерном подпространстве, ортогональном к вектору р.
Как известно, полученный интеграл выражается через бесселевы функции *):
F\b(r — а)\ = a^Qn_t (ap)1" 2Jn_3 (ар) =
= Qn_ia 2р " 2 J„_3 (ар). (2)
2
При п нечетном, п = 2т-\-Ъ, бесселеву функцию можно выразить через тригонометрические функции (§ 2, п. 6, формула (7'))
JL(z) = ^r^sinz,
248 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
В частности, при п — Ъ, т — 0
(3)
z=op
F[b(r — а)] = 2теа2У_1 (ар) = 4ira . (4)
2 р
С другой стороны, при любом п — 2т -\- 3 можно использовать известную формулу *)
(5)
Заменим в (2) аргумент ар на z; тогда мы получим:
1 --1
pn-2±F[b(r_a)]:==Qn_ijn ,z)z*
a __i
и по формуле (5)
или, произведя обратную подстановку z~ap, dz — р da,
p^flF^r-.)^^]/" | sin ар.
Так как преобразование Фурье совершается по переменным х, а дифференцирование — по параметру а, то
В результате получается интересная формула
*) И. М. Рыжик и И. С. Градштейн, Таблицы, 1951, стр. 359, формула 6.482,3.
Таким образом, при п — —[— 3 мы имеем: F[b(r — a)] =
= 2
1]
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
249
5. Преобразование Фурье как предел последовательности функций. Метод, изложенный в п. 4, может помочь и при разыскании преобразований Фурье произвольных обобщенных функций (не обязательно финитных).
Пусть / — произвольная обобщенная функция. Как мы знаем (гл. I, § 1, п. 8), функционал / можно представить как предел функционалов /,, каждый из которых сосредоточен в ограниченной области. Преобразование Фурье функционала /„, по доказанному, есть функция gv(s). Так как оператор Фурье переводит сходящуюся последовательность функционалов снова в сходящуюся последовательность, то можно получить искомое преобразование Фурье функционала / как предел (по сходимости в Z') последовательности функций g^ (?) при v —> со.
В частности, для любой (обычной) функции f(x) (как угодно быстро растущей) преобразование Фурье может быть определено как предел (в смысле сходимости в Z') последовательности обычных функций
ffv(°)= / /(х)е*(*-°)ах. (1)
|аг| <v
Если функция f(x) имеет рост не выше степенного и определяет тем самым функционал на пространстве 5, то интеграл (1) сходится к преобразованию Фурье функции f(x) также в смысле сходимости, установленной для пространства 5' (т. е. на всех основных функциях Ф(а)^5). В частности, функционалы g"v(a) сходятся' к своему пределу g(a) на всех финитных бесконечно дифференцируемых функциях в смысле сходимости в пространстве К'. Мы встречались уже с такими фактами в примерах, приведенных в гл. I, § 2, п. 5.
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Предварительные замечания. Преобразование Фурье в его классической форме является одним из важных методов при решении задач, относящихся к дифференциальным уравнениям. Но область применимости метода преобразования Фурье ограничивалась, в основном, классом интегрируемых во всем пространстве функций или их степеней. Использование преобразования Фурье в комплексной плоскости
250
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[2
позволило включить в область применимости метода Фурье и функции экспоненциального роста, но с Обязательным условием равенства этих функций нулю при отрицательных значениях аргумента. Это относится и к преобразованию Лапласа *), которое представляет собой модификацию преобразования Фурье. В двустороннем преобразовании Лапласа, которое положено в основу известной книги Ван-дер-Поля **), допустимым функциям разрешается при экспоненциальном росте в сторону х—>--j-co быть отличными от нуля при х < 0, но с экспоненциальным убыванием, обеспечивающим наличие полосы существования преобразования Лапласа в комплексной плоскости. Другой изящный метод построения операционного исчисления предложен Я. Мику-синским ***); этот метод (развитый пока что только для функций одного переменного) позволяет рассматривать функции произвольного роста в сторону х—>-\-со, равные нулю при отрицательных х.