Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
плоскость комплексного переменного 5 можно разделить на 2л равных секторов раствором в ~ каждый, так что
функция |es"| в этих секторах поочередно то экспоненциально возрастает, то экспоненциально убывает. Секторы первого типа назовем «отрогами», секторы второго типа — «долинами». Рассмотрим произвольный путь Tfc, ведущий из оо в первой долине в со какой-либо другой, например k-ft, долине (k = 2, п). Для этого пути можно образовать функционал
(П. Ф)= fe*n4(s)ds, тк
причем интеграл заведомо сходится в силу экспоненциального убывания | еаП| в обеих долинах и более медленного возрастания основной функции ф(я).
Мы получим таким образом п — 1 различных функцио-
^ ап „п
налов, которые обозначим соответственно через ех , . . ., еп_1>
Все они удовлетворяют некоторому дифференциальному
206
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
уравнению 1-го порядка, которое легко получить следующим образом. Продифференцируем функционал е|и:
Это выражение проинтегрируем по частям; внеинтеграль-ный член исчезнет (по причине сильного убывания функции еаП в долинах), и мы получим:
(ll***' *) = f ns«-ie?$(s)ds = (ns»-1e?, ф).
rft
Таким образом, функционалы удовлетворяют уравнению
JLe? = ns«-4f.
Мы видим, что в области функционалов над пространством Z линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка может иметь любое число линейно независимых решений.
Большой интерес представляют также аналитические функционалы в области нескольких переменных sx, .... sn. Здесь аналитические функционалы строятся по формулам
(?> 40 = fg(s)y(s)ds, г
где Г — некоторая (2га— 1)-мерная поверхность в 2га-мерном пространстве п комплексных переменных sb . . ., sn.
В силу теоремы Пуанкаре *), обобщающей интегральную теорему Коши на аналитические функции п переменных, поверхность Г может быть также произвольным образом деформирована (без изменения результата) при условии, что ее граница фиксирована, а в процессе изменения Г не переходит через особые точки* функции g(s).
*) См. Б. А. Фукс, Теория аналитических функций многкл комплексных переменных, 1948, стр. 299.
5] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 207
Будем называть поверхность Г эквивалентной вещественной, если для любой основной функции
со
Г -со
(интеграл справа — по всем вещественным переменным). Примером поверхности, эквивалентной вещественной, служит «лестница Хормандера»; геометрическое место всех точек 5Х.....sn, где 52.....sn вещественны и при каждом выборе их значений st пробегает контур, эквивалентный (в плоскости Sx) вещественной оси. Функционал g, определенный формулой
г
где Г — лестница Хормандера, на которой многочлен (или целая функция) Р (s) не обращается в нуль, удовлетворяет уравнению
Pg=\. (1)
Во втором выпуске (гл. II, § 3, п. 3), будет показано, что для всякого многочлена P(s) такую лестницу можно построить и, следовательно, в пространстве 7J уравнение (1) всегда разрешимо. Будем называть, далее, поверхность Г нулевой или обобщенной замкнутой, если для всякой основной функции i[)(s)
j^(s)rfs = 0. г
Примером нулевой поверхности может служить многообразие, являющееся произведением нулевого контура в плоскости Sx на любую поверхность в пространстве остальных переменных.
Для каждого многочлена Р (s), обратная величина кото-1
рого р . . ограничена на нулевом контуре Г, определяется функционал
г
Он является решением уравнения
Pg = 0. (2)
208
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[6
Замечание. Переходя в уравнениях (1) и С2) к преобразованиям Фурье (см. ниже, § 2), мы получаем решения уравнений
рЫ)/ = ^') О)
и
где под записью i ^ нужно понимать .....1 дх )'
Таким образом, во втором выпуске мы сможем доказать, что любое уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами обладает фундаментальным решением.
Мы используем в дальнейшем эти простые соображения также для фактического построения решений подобных уравнений.
6. Преобразования Фурье функций пространства S. Мы
ввели в конце § 1 гл. I пространство 5 бесконечно диффе-ренцирумых функций ср(х), удовлетворяющих неравенствам
\хкО\(х)\^Сщ. (1)
Найдем класс функций, являющихся преобразованиями Фурье функций класса S *). Каждая функция ср (х) ? 5 обладает, очевидно, классическим преобразованием Фурье
ф (а) = J* ср (х) ei <-х- а> dx,
причем функция ф(а) бесконечно дифференцируема в силу абсолютной сходимости интегралов
03ф (а) = J (ixf ср (х) е1 (х'а) dx.
Так как функция (ix)q ср (д:) бесконечно дифференцируема вместе с ср (х) и все ее производные являются абсолютно интегрируемыми, то функция О9ф(о) стремится к нулю быстрее любой степени -~-р . Таким образом, функция ф (а) как функция переменных а — (аи , . ., ап) обладает теми же
*) Излагаемые в этом абзаце соображения будут подробно развиты в § 1 гл. III второго выпуска.
1] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 209
свойствами, что и функция ср (х) как функция переменных х. Мы видим, что пространство 5 преобразованием Фурье переводится в себя. Более того, так как такие же рассуждения проходят для обратного преобразования Фурье, то преобразованием Фурье пространство 5 отображается на себя, т. е. каждая функция ф(а)?5 имеет прообраз. Можно проверить, что всякая сходящаяся в 5 последовательность функций cpv (х) переводится преобразованием Фурье в последовательность функций Ф„ (а), также сходящуюся в 5.
