Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
дЕ (х, t)
¦P(i^E(x, t) = b(x, t). (2)
dt
Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения ди (х, t)
dt
¦P{i~)u(x, 0 = 0 (3)
есть обобщенная функция а (х, t), определенная при t ^ 0 на основных функциях ср(лг) (зависящая от t как от параметра), удовлетворяющая уравнению (2) и обращающаяся в Ъ (х) при t — 0.
Зная обобщенную функцию и(х, t), можно построить фундаментальное решение Е(х, t); именно, справедлива теорема:
Пусть известно фундаментальное решение и (лг, t) задачи Коши для уравнения (3). Положим
при 0,
t) при
Тогда Е(х, f) есть фундаментальное решение уравнения (1).
Определение (4) требует еще некоторых пояснений при t ~^>> 0. Мы должны ведь определить обобщенную функцию над основными функциями, зависящими от х и t, а и (х, t) определена как обобщенная функция над функциями от х и зависит от t как от параметра. Мы придаем функции и (х, t) следующий смысл как обобщенной функции над основными функциями ср (jc, t)'.
со
(и(х, 0. <р(*. 0) = /(«(*• О. <Р(*. t))dt.
о
Под знаком интеграла и(х, t) при фиксированном / применяется к основной функции ср(дг, t) как функции от х при том же значении t\ результат есть финитная функция по t, и интегрирование по t допустимо.
Покажем, что полученная обобщенная функция Е(х, t) есть решение уравнения (2). Достаточно показать, что удовлетворяется двойственное уравнение (полученное из (2) преобразованием Фурье по х и t). Считая, что координаты
5] § 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 255
о (о, 0 = 0 (*<0). v(a, 0) = 1 (г = 0),
^«(а. 0— P(a)v (а, г) = 0 (t > 0).
(6)
Производная понимаемая в обычном смысле, может
быть заменена на производную в смысле обобщенных функций, если добавить скачок функции v(a, t) при г = 0, равный нулю (гл. I, § 2, п. 2, пример 2); поэтому уравнения (6) могут быть заменены уравнением
|U(a, t)—P(?)v(p. 0—8(о) = 0.
где J^ —символ производной от обобщенной функции v(a, г). Совершая преобразование Фурье по t, приходим к уравнению
'—laoV(a, %) — P(3)V(g, о0)=1, что и требуется.
5. Классическое операционное исчисление. В классическом операционном исчислении рассматриваются дифференциальные уравнения и системы вида
ди (х, t)
dt
при t >0 с некоторыми начальными (для t — О) и граничными условиями (в области изменения х)..При помощи преобразования Лапласа по t задача сводится к дифференциальному уравнению только по х (или к алгебраической задаче в случае обыкновенных уравнений).
хи .... хп переходят при преобразовании Фурье в координаты ot.....ап, а координата t — в координату с0, получаем двойственное уравнение в форме
[—ia0 — P(a)\V(a, с0) = 1. (5)
Совершим преобразование Фурье функционала Е(х, t), определенного формулами (4) сначала только по координатам х при фиксированном t. Обозначая результат этого преобразования через v (a, t), получаем из (3):
256
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
15
Рассмотрим эти задачи с точки зрения теории обобщенных функций. Введем обобщенную функцию V (х, t) (обобщенную по переменной t, зависящую от х как от параметра), равную и(х, t) при t > 0 и нулю при / < 0. Так как при переходе от значений t < 0 к значениям t > 0 функция и (х, t) испытывает скачок, равный заданному значению и(х, 0), то
6U (х, t) __ ди(х, t) , ^ m«m —Ъ1— — —Ft--*~а(х' 0)8^>-
Поэтому U (х, t) удовлетворяет уравнению (системе)
Совершая преобразование Фурье по ^ и обозначая новую переменную через р ~P\-\-iPz> получаем уравнение
— ipV(x,p) = P[§-^V(x, р) + и(х, 0)- 1. (2)
Для корректных задач полученное уравнение с учетом граничных условий по х имеет единственное решение V (х, р), которое представляет собой аналитическую функцию от р (в случае обыкновенного уравнения — даже рациональную функцию от р), обладающую некоторыми особенностями (возможно, неоднозначную). Имея функцию V(х, р), можно построить семейство аналитических функционалов вида
(У, ф) = / V(x, p)^(p)dp, (3)
г
где Г — любой фиксированный контур, минующий особенности функции V(x, р) и эквивалентный вещественной оси, т. е. обладающий тем свойством, что
со
J ф (s) ds — J ф (a) da
Г -со
для любой основной функции ф($). В частности, годится любая прямая, параллельная вещественной s-оси, не проходящая через особые точки функции V (я, р).
5j § 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 257
17 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Каждый из этих функционалов определяет решение уравнения (2), а обратное преобразование Фурье такого функционала— решение уравнения (1). Только это решение, вообще говоря, не обращается в нуль при t < 0.
Выделить аналитический функционал (3), обратное преобразование Фурье которого обращается в нуль при t < 0, в общем случае представляется затруднительным.
Предположим, что функция V (х, р) обладает следующими специальными свойствами:
а) выше прямой Im р = р® функция V (х, р) не имеет особых точек;
б) в указанной области функция V (х, р) обладает интегрируемой мажорантой W (р^):
со
I V (х, р) |< W (Pl), j W (Pl) dPl < оо.
