Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Метод преобразований Фурье обобщенных функций, излагаемый в этой книге, не требует никаких предположений относительно характера роста рассматриваемых функций как при х —> -f- со, так и при х —>¦— оо и годится для функции любого числа переменных. Поэтому естественно, что этот метод, в частности, позволяет решать все типы задач, к которым можно применять классические преобразования Фурье и Лапласа или метод Микусинского, а также и многие задачи, которые недоступны для этих методов.
Мы ограничимся в этом выпуске рассмотрением только некоторых простых примеров.
2. Итерированное уравнение Лапласа &ти — /. Решение этого уравнения будет найдено, когда будет известно фундаментальное решение Е по формуле и = f ^ Е. Фундаментальное решение есть решение уравнения
&тЕ = Ъ(х). - (1)
Будем искать фундаментальное решение в пространстве К'.
*) См., например, X. К а р с л о у и Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной математике', ИЛ, 1948.
**) Б. В а н-д е р-П ольиХ. Бреммер, Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1952. ***) Ян Микусинский, Операторное исчисление, ИЛ, 1956.
21
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
251
После преобразования Фурье, примененного к уравнению (1), мы получим:
(_1)»PW=1 (P2=2sf). (2)
где V означает преобразование Фурье функции Е. Вопрос, следовательно, упирается в решение уравнения (2).
Если 2т < п. то решением служит (локально интегри-(— \)т
руемая) функция . Далее, если значение п = —2т <0
не есть полюс аналитической функции рх (гл. I, § 3, п. 9) — напомним, что полюсы функции рх расположены в точках — п, —п — 2..... —то решением является функционал (—1)тер~2ш, что получается предельным переходом из равенства ргтрх — р2"»+х при X —>—2т.
Пусть, наконец, Х = — 2т является полюсом аналитической функции рх. Рассмотрим разложение функции рх в окрестности этой точки в ряд Лорана:
где а_!, а0, аъ ... —обобщенные функции (гл. I, § 4, п. 6).
Умножим это равенство почленно на функцию pZm и перейдем затем к пределу при X—> — 2т. Левая часть имеет пределом, так же как и выше, единицу. В правой части все члены, начиная с третьего, в пределе обратятся в нуль; второй член р2ота0 остается постоянным, первый при р2тоа_1 Ф О должен был бы иметь пределом бесконечность, но так как это противоречило бы полученному предельному соотношению, где все остальные члены конечны, то мы делаем вывод, что р2та_1 — 0 и, следовательно,
p2maQ = 1.
Итак, решением уравнения (—l)TOp2TOl/= 1 оказывается в данном случае (—\)та0, где а0 — значение правильной части ряда Лорана (3) при Х = —2т *). В первом и во втором случаях результатом обратного преобразования Фурье в соответствии с формулой (2) п. 3 § 3 является функция
*) Этот коэффициент есть обобщенная функция 0,пг-п-"т. Но явное его выражение здесь не будет играть роли.
252 ГЛ. Н. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [3
Сг2т~п\пг, если 2т > п и п. четное, Cr2m-n в остальных случаях.
3. Волновое уравнение в нечетномерном пространстве.
Частными решениями волнового уравнения
2-^л+ ••¦+— О)
являются бегущие волны
е-г [(а, х) ± ft) (р _ J а | _ yai _|_ _ _ +
из которых мы будем комбинировать любое решение в форме U(X, f)=^JL_ У^(oy-i^+ipirfa+^n/*F8(a)«-*(..a»-*P*da.
Решение ы(дг, О должно быть определено из начальных условий, которые мы возьмем (ср. п. 4 § 5 гл. I) в форме
а(х, 0) = 0. dK(^0) = (2)
Первое из этих условий приводит к уравнению
/ №i (a) + <г2 (в)1 « _*(a'х) da = О и удовлетворяется, если vP2(a)==— Ч?\ (a) == ^ 47 (а), так что
и(х, О = -^5У ,lr(a)e-ii«.e)Sinp/do = /'~1[rF(o)sinpi*]. (3)
<^2тог2?й~п- В третьем случае в соответствии с формулой (5) п. 3 § 3 решением служит функция
дг2т-п 1П г _|_ ?,Г2т-п.
Но второе слагаемое в данном случае излишне, так как
оператором Ате оно переводится в нуль. Поэтому фундаментальное решение Е во всех случаях может быть записано в виде
4] § 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253
1 pinРП _ Гп _1_ (_d_\т Нг-L р J ~ У 2 l^-i \tdtj
¦О
t
Для решения задачи Коши с заданной начальной функцией
да (х, 0) ,, . ,
.—i-^—'—~f(x) мы получаем формулу
где Mt[f] означает среднее от функции f(х — ?) по сфере \\\*Zt.
В частности, при л = 3, т — 0
г) = гМ,[/].
Обычным способом спуска можно получить решение волнового уравнения и в четномерном пространстве *).
4. Связь между фундаментальным решением уравнения и фундаментальным решением задачи Коши для него.
Фундаментальное решение уравнения
*)См. Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. II, 1951, гл. VI, § 5, п. 2, стр. 372.
Второе начальное условие приводится к виду
= I *(а) е'1 (а'х) 9 da=ь < *>
или
Отсюда
pW(a) = b(x) = 1 и, следовательно, по формуле (3)
Но обратное преобразование Фурье от sin ?i мы уже знаем: согласно формуле (б) п.. 4 § 3 при п = 2т-\-3
254
гл. п. преобразования фурьё
Г4
согласно определению, есть обобщенная функция Е(х, /) (из пространства /С'), удовлетворяющая уравнению
