Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) При первом чтении можно этот пункт пропустить. Результаты его приведены в конце книги в сводной таблице преобразований Фурье.
4) § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ одного ПЕРЕМЕННОГО 221
В частности, полагая Х=0, получаем:
F [In х+] = i {(Г (1) +1 ~) (а —
— (а-НО)"1 In (а-НО)};' (3)
/=¦ [In х_] = — l{(r (1) — / у) (а - ЮГ1 —
— (а — /О)-1 In (а— Ю)}. (4)
Складывая и вычитая формулы (1) — (2), находим: . F[|jc|4nlx|] =
= ;eix ^ [г (X -4-1) + / - J г (X -j-1)] (о+/0) -
— le~iX ^ [Г (Х+ 1) — * ? Г(Х 4-1)] (о — Ю)"'-1 —
—/в* 2 Г(Х^ 1)(а-(-Ю)~Х-11п(а-|-Ю)4-4/е-гЛ"2"Г(Х^-1)(а —Ю)_Х_11п(а —/0), (5)
«» f [ | л: |Мп | л: | sgn х] =
= [г (X 4-1) 4-1 \ г (X 4-1)] (а 4- toy1-14. 4- *г*х "5" [Г (X 4- 1) _ /1 Г (X 4- 1)] (а — /о)-'"1 —
— ie 2 Г(Х+ l)(o4-/0)-x_1ln(a-f /0) —
— /е ' 2 Г(Х4-1)(а — Ю)_Х_11п(а— /0). (6)
222 Гл. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ {4
В частности, при Х = 0 имеем:
F[\n\x\] = I [Г (1)-Н у] (а-ЬЮ)-1-/ [г'(1)-/ |] (а-Ю)-1-
— г (о 4- ДО)_1 In (а + ДО) 4-1 (о — /О)-1 In (а — /0), (7) F [In | jc | sgn х] =
= / [Г (1) + / у] (а 4- Ю)"1 4- /[Г (1) — * |] (а - ЮГ1 —
— / (а 4- ДО)-1 In (а 4-10) — г (о — ДО)-1 In (а — ДО). (8)
Предельный переход X —>—2k в формуле (5) и X—>¦ — 2k—1 в формуле (6) позволяет найти выражения F {х~2к In | х\ ] и F [х-2*-1 In | х | ]. Мы найдем эти выражения ниже несколько иным путем.
Преобразования Фурье обобщенных функций х+п, х1п, х:+п1пл;+, лСп1пх_ могут быть найдены с помощью рядов Лорана функций х\ и в окрестности значения X = — п. Как мы помним, разложение Лорана функции х\ в окрестности значения Х = — и имеет вид
Х+— (я_1)|(Х + л) + * + -К* 4-*)*+ 1пх+4-...
Почленное применение преобразования Фурье приводит к разложению
^ [*+] - ^ [ (л_1)!(Х + л) J +
4-/?tx;ri]H-(X-r-«)Fix;T,inx+]-r-... (9)
Поэтому, разлагая по степеням X—}- я функцию
F [х\] = 1е 2 Г(х_|_ 1)(а4-ДО)-х-1 (Ю)
и приравнивая коэффициенты получающегося ряда соответствующим коэффициентам ряда (9), мы найдем выражения преобразований Фурье от х1п,- л:+п1пл:+, ... Заметим, что
гХ—- —х —1
е 2 и (o-f-ДО) —целые функции, а Г(Х-)-1) имеет при Х = —1 полюс 1-го порядка; следовательно, искомое
4] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ одного ПЕРЕМЕННОГО 223
разложение функции (10) по степеням \-\-n может быть получено как произведение ряда Тейлора функции (з-|-Д))-х"~1 и ряда Лорана функции
A(X) = telX'z~r(k-\-l). Первый из этих рядов имеет вид (о -1- ЮГХ_1 = а71'1 — (X -f- п) on_1 In (а + /0) -4-
+ 1(Х + л)2а"-Чп2(а + Ю)-Ь (И)
а второй мы запишем в форме
Л(Х) = П]Г^ + аоМ) + а(ГЧ*+*)-4- ••' ^12)
Коэффициенты а(2\, ОсГ\ • • • можно вычислить явно; ниже приведены их значения. Перемножая ряды (11) и (12), находим:
ietX ~* Г (X -f- 1) (а + /0)"Х_1 =
+ (X 4 п) [а^о"-1 — а^оп-г 1п (а -4- Ю) -j-
+ ^а(Лата-11п2(а4-Ю)]4- (13)
Приравнивая коэффициенты разложений (9) и (13), получаем:
F [х!п] = а^о""1 - а^а"-1 In (а+ Ю), (14)
F [х+я In х+] = а^а71"1 — а^а"-1 In (а 4- /0)
4-у^И_11п2(а + Ю). (15)
Аналогичные вычисления проводятся для определения преобразований Фурье обобщенных функций xZn, xZn\nx-и т. д. Исходим из разложения Лорана
*- - (» -У(х + ») + + ^ + ") *="+
224 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
.-Х-1
мы можем получить интересующие нас формулы разложением последней функции по степеням (X-f-л) и приравниванием соответствующих коэффициентов получающегося ряда и ряда (16). Мы имеем:
(а — Ю)~А~ = а1 — (X -1- п) о71'1 In (о — Ю) -J-
1_ 2
Ч-Т^Ч-^о»1-1 1п2(о—Ю)-|- .... (17)
- /,"г (X 4-1) s в (X) = ^ 4- й»> 4- й») (х 4- ») + • • •.
(18)
откуда
F = а""1 4" [б^о*-1 - ^lo"-1 In (а - Ю)] 4~
4- (X 4- я) [^а""1 — ^V*"1 In (а — /0)] +
4--j b^W1-1 In2 (а — /О) 4" • • • (19)
Приравнивая коэффициенты .в (16) и (19), получаем:
F[xZn] = b^an-1 — b^lo"-1 In (а — ДО), (20)
/=¦ jxl" In х_] = tfV"1 — Ьфа*-1 In (о — /0) 4-
A-^b{%n~l In2 (a — /0), (21)
Найдем теперь преобразования Фурье обобщенных функций: |x|"n,'|xrrasgnx, |хГга1п|х| и |x|~raln |х| sgnx.
Разложим функцию | х \х в ряд Тейлора в окрестности точки Х = — 2k:
ixlx = x-2ft-f-(X4-2ft)x-2A In 1 jc Ц- ...
к которому применяем почленно преобразование Фурье Р \ХЧ = Р r__^llW_ 1 +
+F[x:w]-r-(XH-^)/:'[x:ninx_]+... (i6)
Поскольку
—iX —
f[x_] = —* 2 Г(Х+ 1) (в—Ю)"
4] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 225
15 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I
Применим почленно преобразование Фурье:
F [ | х |х] = F [x-2k)-\-(l+2k) F [х-*к in i х |] 4- ... (22) С другой стороны, имеем:
F\\x\x\ = —2 sin^rcX-hDIol^-1.
Положим
С(\) = — 2sin^r(X-f-l). (23)
Эта функция при Х =—2k регулярна, так что
С (X) = cf* 4. (X 4- 2k) cfV 4. . . . (24)
Далее, в окрестности точки Х =— 2k
\а \-*-l = \a\2k-1 — (k + 2k)\ofk-1\n\a\-\- ... (25)
Перемножая разложения (24) и (25) и сравнивая результат с разложением (22), находим:
