Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
оно существует при всех \ф—1, —2, ...
Вычет написанного выражения при ~к — — п равен
234 ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [5
Сравнивая (6) и (8), находим
Таким образом, мы доказали, что как при отрицательных, так и при положительных полуцелых значениях г функция Jr (х) выра-' жается через элементарные функции.
Рассмотрим теперь функцию (1-\-х2)х, Преобразование Фурье этой функции при ReX<0 равно *)
сю _ !
—со 2
Формула (9) сохраняется при всех к. При целых неотрицательных к=п искомое преобразование Фурье легко находится непосредственно: функция (1-\-х2)х является много-
членом (1-\-х2)п, а функция \s\ 2 К i (\s\) имеет
*) И. М. Рыжик и И. С. Г рад штейн, Таблицы, 1951, стр. 281, формула 5.116, 1.
_ d
оператор 2 -j^j и интегрируя по частям, можно убедиться
в справедливости этой формулы и при п-\-\.
Из полученных формул легко вывести выражение бесселевой функции полуцелого аргумента через элементарные функции. Сравнивая формулы (3) — (5), находим:
j i(s) = т/т (s)n~T ^-1/??g?\ (7)
Указанное выражение применимо, если индекс бесселевой функции отрицателен. Чтобы найти выражение бесселевой функции с положительным полуцелым индексом через элементарные функции, положим в формуле (2) \ = п:
5] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ одного ПЕРЕМЕННОГО 235
* _i(M) = K*(i -^Hs). (Ю)
Наконец, рассмотрим преобразование Фурье обобщенной функции (л;2—1)^. Оно равно
— 1 со
j (х2 — 1)х eisx dx-\- J (xz — 1)Л eisx dx =
2 f (x2— \f cos sxdx. (11)
Но при — 1 <i ReX < 0 имеет место равенство *)
f (x2 — \f
cos sx dx ¦¦
(12)
Отсюда следует, что для всех Х=?—1, —2, ... преобразование Фурье обобщенной функции (х2—1)^_ равно
со
2 J (х2—\)xcossx dx — i
= -Г(Х-4-1)У*
—1
N
, i (\s\)-~к~1
Г(Х4-1)1/те
х
cos
X
+ 1<И>-' i(U|)
sin ^^4- —)
*) Там же, стр. 347, формула 6.422.
(13)
полюс. Преобразование Фурье функции (1-\-х2)п, как мы
/ d* \п ~. знаем, равно I 1 — ^) 8 (s).
Отсюда следует, что
236
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[6
Особенно просто . подсчитывается преобразование Фурье функции (х2— \)п (п = 0, 1, 2, ...). В этом случае
со
2 J(х2— \)ncossx dx = i
со " 1
= f (x2—l)nei^dx-\-(—l)n+1J(l—x2)nei^dx =
3(14)
Таким образом, преобразование Фурье функции (х2 — 1)" равно
2* (-D- (1 (.) + (-D- v- (уГ~Ч+i о-
(15)
6. Преобразование Фурье аналитических функционалов. Рассмотрим аналитический функционал в пространстве Z
(g. т0 = / ^)Ф(*)^- (1)
г
Контур интегрирования Г предполагается конечным или бесконечным, но заведомо таким, вдоль которого функция g(s)exb абсолютно интегрируема при любом вещественном Ь. Мы утверждаем, что функционал g является преобразованием Фурье регулярного функционала над пространством К, определенного функцией
f(х) = "йг 18 (5) ei8X ds' (2)
Прежде всего заметим, что функция f(x) определена формулой (2) для всех х в силу предположения о контуре Г. Пусть ср (х)—основная функция, преобразованием
6] § 2. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 237
CO
= f ? (x) { / g(s) «iBX ds\dx = -со |-r j
CO
= 2ir j/^<p(x)rfjc==2ir(/, <p),
где f(x) определена формулой (2), что и утверждается.
Пусть, например, Г есть ограниченный замкнутый контур, внутри которого имеется изолированная особая точка s0 функции g(s). В этом случае функция f(x), согласно теореме о вычетах, имеет вид
/(х) = J g(s) e~isx dx — 2ni ¦ выч.8=8(> \g(s) e~isx]. г
Пример. Рассмотрим аналитический функционал
too ^
(g(s).4(s))= f e^(s)ds (3)
— г со
с интегрированием по мнимой оси (или по любому эквивалентному пути). По доказанному, функционал g есть преобразование Фурье функции /, определяемой равенством
fjx) = i J eTeisx ds.
— i co
Фурье которой служит функция ty(s); тогда, подставляя в формулу (1) выражение ф(5) через ср(лт), мы находим:
(со |
г I -co J
238
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
(1
Этот интеграл легко вычисляется. Заменим в нем 5 на ix, он перейдет тогда в интеграл
ъ; Jе а%=ъ;е Jе
— со —со
/ — Г - — ; —
= —е2 е 2 dx = ¦ е * . 2tz J у 2к
—со
Таким образом, аналитический функционал (3) является преобразованием Фурье функции
3?
Обращая этот результат, получаем, что преобразованием
Фурье функции е8 служит аналитический функционал,
_ ?_
определяемый функцией /]/2ir е 3 и контуром (—г" со, г со).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Определения. Преобразование Фурье функционала /, действующего на пространстве К основных функций ср (х) от нескольких независимых переменных х = (хи .... хп), определяется как функционал g на пространстве Z основных функций Ф(5), s — (slt .... sn), действующий по формуле
• (g. Ф) = (2*0Я(/, Т). (1)
где Ф = ср есть преобразование Фурье функции ср(х). Функционал g линеен и непрерывен; он обозначается через / или F [/]. Результаты § 2 переносятся на этот случай без особых изменений. Формулы (2)—(3) п. 1 приобретают следующий вид: если Р — многочлен от п переменных
