Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
5. Преобразование Фурье от показательной функции еЬсе. Воспользуемся тем, что ряд
2] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 213
21
•gibx +е-
¦ibx
2
ebx — e-
bx '
2
¦ gbx _|_ g-
-bx
F [cos bx\ = F [shbx] =F[
F [ch bx] = F [ еЪХ +j =TC [8 (s — lb) -4- 8 (s + ib)\. (12)
6. Преобразование Фурье обобщенных функций, продолжаемых на пространство 5. Предположим, что функционал /, определенный первоначально на пространстве К, может быть распространен по непрерывности на пространство 5 (см. гл. I, § 1, п. 10). Покажем, что преобразование Фурье g = f функционала / также распространяется (с пространства Z) на пространство 5.
Действительно, формула
(g. ф) = 2те(/. ср), ф = ?, (13)
определяет функционал g сразу на всех функциях Ф, являющихся преобразованиями Фурье функций ср; поскольку ср пробегает все пространство 5, функция ф также пробегает все пространство 5. Так как из сходимости к нулю функций ф„(<з)?5 следует сходимость к нулю их прообразов <pv(x)?S (обе в смысле пространства S), то получаемый функционал g непрерывен на 5. Действительно, если .ф,(о)-». 0, то (g, <M = 2ic(/. cpJ^O.
Итак, формулой (13) определен непрерывный функционал g на 5. Но для ty^Z он совпадает, очевидно,
сходится в смысле сходимости в пространстве К'; это
позволит вычислить еЬх путем почленного применения оператора F к этому ряду. Мы получим (см. формулы (5)—(6) п. 4 § 1)
СО СО
я—о о
Формула (8) позволяет легко получить преобразования Фурье у часто встречающихся функций sin?x, cosbx, sh bx, ch bx:
-—-J = ftc[8(s_a)_ S^-r-ft)], (9)
214
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
13
с преобразованием Фурье / функционала /, действующего на пространстве К. Тем самым / распространяется с Z на 5, что и требовалось.
В частности, преобразования Фурье периодических функций, финитных обобщенных функций и всех обычных функций степенного роста, а также их производных можно считать функционалами на 5. Таковы, например, обобщенные
функции х^., хх_, | х \х и jjcjxsgnx, которые мы подробно рассмотрим в пункте 3.
7. Преобразование Фурье от периодической функции. Всякая периодическая (с периодом 2тг) локально интегрируемая функция /(х), как мы видели в п. 4 § 2 гл. I, представляется в виде суммы ряда Фурье
со
/W = 2vi,U!. (14)
—CO
сходящегося в смысле обобщенных функций (даже в пространстве S').
Применяя к равенству (14) преобразование Фурье почленно (что законно в силу его непрерывности) и используя результат примера 5, находим:
t___, со
/W=Sc„S(s+«)- ' (15)
—со
Таким образом, функционал /(х), рассматриваемый как элемент пространства S', сосредоточен на счетной последовательности точек д=0, ±1, ±2, ...
3. Преобразования Фурье обобщенных функций хх+, х\, \х\х, | л: |Х sgn л?. Подсчитаем преобразование Фурье обобщенной функции х+. Ограничимся сначала значениями X, для которых —1 < ReX< 0.
Рассмотрим выражение
со со
F [х\е-*°\ = j хке™хе-™dx — f xxeisx dx (1)
о о
для x = lms>>0, так что 0<args<7c. Этот интеграл заведомо сходится. Когда х —> -4- 0, х+е-^ сходится к х+
ЗГ § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 215
в смысле обобщенных функций, поэтому преобразование Фурье от хх+е-хх стремится к искомому преобразованию Фурье от х\.
Вычислим интеграл (1) с помощью подстановки
isx — — ?, is dx = — d%, x —--~, dx — — d%.
is is
Мы получим при этом
F [x\e~™\ = I e—^-J J d\,
L
где путь интегрирования L представляет собой луч, идущий из 0 в со, с аргументом arg ? = arg 5 — — . Следовательно,
— ~2 <argZ<-2-
Но в правой полуплоскости экспоненциально убывает.
Пользуясь теоремой Коши, получаем, что последний интеграл равен интегралу по полуоси 5 > 0, т. е.
со
J>?-^ = r(X-4-l), о
так что
F [х\е~™\ = 1е 2 (о -4-ix)'^1 Г(X -+- 1).
Так как по предположению —1 <ReX< О, то и
— 1 < Re(— X— 1)< 0.
Совершая предельный переход при х —>-f-0, мы получаем (см. гл. I, § 3, п. 6)
'x —
F [х\\ = ie 2 Г (X _)_ 1) (a _j_ Ю)"Х_1. (2)
В силу единственности аналитического продолжения *) эта формула верна при любом X Ф —1, —2, .. . Если разделить
*) Здесь (и часто* дальше) используются следующие простые соображения. Пусть Д и g\ — обобщенные функции, аналитически зависящие от X в области G, и пусть известно, что в меньшей области С?! cz G обобщенная функция g\ является преобразованием
216
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
13
обе части равенства на Г (X —|— 1), мы получим справа и слева целые функции от X, и следовательно, при всех значениях X
= /*"" 2 (а + Ю)"Х_1-. (3)
гХ
(X + DJ
М"ожно еще подставить в правую часть выражение функции (о-(-г0)_х-1 (см. гл. I, § 3). Тогда получим при ХфО, ±1, ±2 ....
F [х\\ = l Г (X l)[eiX ^а?-1 — e'iX ^ol^1} ; (4) при Х — п (n — Q, 1, 2, ...)
F[xl] = ln+1[nb-n-1 + (r- 1)я+1/и8(п)(а)1. (5)
В частности,
F[x°+)s=Fld(x)]=to-i-{-icb(o). (6)
F \х\\ == F [х+] = — а-2 _ Ы V (о) (7)
