Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
lj § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 239
с постоянными коэффициентами, то
Р(^Г' ^)^1/] = ^[Я(^,...,/хп)/]. (2)
F И -к.....4г) Л=р (~ • • • • -iSn)J- (3)
Обратный оператор F-1 действует в пространстве Z' и переводит его в пространство К' по формуле
{F~lg. <р) = ^1_^, (4)
Если/(х) — функция, обладающая преобразованием Фурье в классическом смысле, то функционал / есть регулярный функционал, соответствующий преобразованию Фурье функции /(х).
Из сингулярных функционалов простейшим является дельта-функция: для нее имеют место формулы
4*0=1, Т = (2тс)я8(5). (5)
аналогичные формулам (2) п. 2 § 2.
Формула преобразования Фурье от многочлена получается комбинированием формул (2) и (5):
FlP(X!.....xn)] = F[P(Xl, хп)1] =
Выясним, как выглядит преобразование Фурье от обобщенной функции /, к которой применена некоторая операция и линейного преобразования независимых переменных (гл. I, § 1, п. 6). Для основной функции ср(ле) мы имеем, полагая и~1х—у, х—пу, dx=\u\dy:
F 1<р (и~1х)] = J* <р (u~lx) е1 & х) dx — \ и | J ср г* «г/) rfy =
= | и ] J* ср (_у) ei (и'°' y)dy = \u\q (и'о),
т. е. преобразованию а-1 б области переменных х отвечает сопряженное преобразование и' в области
240
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[2
переменных а и умножение результата на \и\. Далее для обобщенной функции / мы будем иметь, обозначая, как всегда, ф (а) = F [ср (х)]:
(F[f(ux)], F[<p(*)I)==(2ic)«(/(«*), ?(*)) =
= (2*)" (/(*). cp(«-^)) = (F[/(x)J, F[<p(a-i^)]) = = (F [/(x)], i «| ср(a'o)) = i a i (F [/(*) ]. F [cp(и'а)] ).
Обозначая, далее, g-(a) = F [f (x)], gu (a) = F [ср (их)), мы получаем:
(ft. (a). Ф (<»)) = (*(<»). Ф («'<»)) = С*
откуда
Таким образом, преобразованию f(x)^>f(ux) в пространстве обобщенных функций отвечает преобразование g(a) —у | и 1 g (иг~1а) в пространстве преобразований Фурье.
В частности, если обобщенная функция / инвариантна относительно преобразования и, так что f (их) = f (х), то ее преобразование Фурье инвариантно относительно преобразования и'~1 и умножения на | и |, так что | a j g (и'~1а) — — g"(a)- Например, если обобщенная функция / сферически симметрична, т. е. для каждого поворота и мы имеем f(ux) — f(x), то и ее преобразование Фурье сферически симметрично, поскольку для поворота выполняются соотношения и'~х = и, |и| = 1.
2. Преобразование Фурье прямого произведения.
Пусть f(x) и g(y)-—данные обобщенные функции соответственно, по переменным х — (хи . . ., хк) и _y = (_Vi, •. •, ут), и /(?), g(f\) — их преобразования Фурье. Тогда преобразование Фурье прямого произведения f(x)g(y) (по всем переменным) выражается по формуле
F\fxg}=mxg(-n),
т. е. равно прямому произведению преобразований Фурье функционалов fug. Для доказательства достаточно (см. гл. I, § 4, п. 1) проверить требуемое равенство на основ-
3] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 241
16 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
п
ных функциях ср(х, у) вида 2 9j (х) Ь ОО» Мы имеем в этом случае
(7xg. = (2*)"+*(/хg. 2<рА) =
= (2к)т+к 2 (/, (g, Ь) = 2 (7. ъ) Q. Ь) = = (7х? 2?i^) = (7xi, 2туй).
что и утверждается.
Примеры. 1. Если f(x) = b(x), то наша формула приводится к виду
F[b(x)Xg(y)] = 1 (QXed).
В частности,
F [S (х) X 1 (У)] = 1 (5) X (2и)те о (т,).
Иными словами, преобразование Фурье характеристической функции подпространства Ry есть характеристическая функция подпространства R^, умноженная на (2тг)от.
2. Построим преобразование Фурье функции f(x, у) двух переменных, равной 1 при х > 0, 3/ > 0 и равной О при остальных значениях х, у. Эта функция есть произведение (и, следовательно, прямое произведение) функций 9 (х) и 9 (у). Отсюда в соответствии с формулой (6) п. 3 § 2 получаем:
ffcy) =Ч^)х Чу) = М(5) -+-tr1] х'М(ч) + 'V1].
3. Преобразование Фурье обобщенной функции гх. Обобщенная функция гх, согласно п. 9 § 3 гл. I, определена при кФ—п, —п — 2, ... и сферически симметрична. Поэтому ее преобразование Фурье gK(°) есть также сферически симметричная обобщенная функция. Интеграл Фурье
gk(a) = J гЧ{ ж> dx
сходится при —/г < Re X < 0 и представляет собой сферически симметричную функцию, т. е. функцию от p = |/~2°j'
242 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [3
..е 3 . Тогда ф(а) = \К2тгв "/•••\У"2*« 2/ = - (2тс)2 в 2, и мы получим:
Q (2тс) 2 j е 2 р-"-х rfa = (2тг)эт j* л^в 2 dx.
Интегралы справа и слева вычисляются переходом к сферическим координатам; при этом можно разделить на площадь единичной сферы с обеих сторон и заменить интегралы однократными, записывая pn_1 dp вместо da и rre_1 dr вместо dx. Получившиеся выражения вычисляются теперь с помощью гамма-функции:
f e_^p-x-irfp = 2~2_1r(—А),
о
е 2rx+»-irfr = 2 2
Г _?l| __
*) Мы пользуемся формулой F[_e 2j = У2л<? 2 (п — 1). См. И. М. Рыжик и И. С. Г рад штейн, Таблицы, 1951, стр. 281, формула 5.119.
Далее, при любом t > О
gk (td) = j rxel x) dx = j rkel <¦"• te> dx;
