Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
F[x-2k} = cfV\e\2k-1 (26)
(ср. выше формулу (20) п. 3),
F [х~2к In | х |] = с« | а р-1 — <ffc> | а |»*-» In | а |. (27)
Продолжив разложения (22), (24) и (25), можно было бы аналогично найти F [х-27' In21 х |] и т. д.
Аналогично разложим | х |х sgn х в окрестности точки X - —2ft — 1:
| x|xsgnA: = x-2fc-1-(-(X4-2ft4- 1)х-2&-Чп | х | 4- ...
Применяя почленно преобразование Фурье, получаем:
F [ | х |х sgn х] =
= F\x~2k~l] 4- (X 4- 2А: 4- 1) /=• [л;-2*-1 in | jc | ] 4- ... (28)
С другой стороны,
F [ | х |х sgn х] = /-D (X) | о | ~x_1 sgn о,
где
D(X) = 2cos^r(X4-l). (29)
226 ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ [4
a I X 1sgn a = j a |3& sgn a—(X 4" 2k-\-l) | a |3& In | a| sgn a 4 •
Перемножая (30) и (31) и сравнивая с (28), находим:
F [х-2"-1] = idfk+v) | a |а* sgn о (32)
(ср. формулу (21) п. 3),
F[x-**-1 In | х | } = idfc+1) | a f sgn a— г dgk+1) | a ]3* In | a | sgn a
(33)
и т. д.
Теперь нам нужно подсчитать преобразования Фурье обобщенных функций |х|~™ и |х|-га1п|х| при нечетных п и преобразования Фурье обобщенных функций |x|-nsgnx
и j x|_raln | х \ sgn х при четных п. Мы найдем эти преобразования Фурье тем же путем, только в отличие от предыдущего вместо рядов Тейлора воспользуемся рядами Лорана.
Разложим функцию | х |х в ряд Лорана в окрестности значения Х = —2k—1:
u4-o &(3fc) (*) ' i , |хГ»*-1 i
|Л| ~~ (2k)\ 42*+l +l 1 ^
4-(X4-2yfe4-l)lxf2ft_1ln|x|-l- ...
Применим почленно преобразование Фурье:
'^h-^^f>\ + ^ + 1 +
-г-(Х4-2А;41)/:'[|хГ2&+11п!х|]4- ... (34) С другой стороны, перемножая разложения .
c(2fc + l)
с (S) = х +~2* 4 1 + С°2&+1) + (Х + 2& + 1} с(*к+1) + ••• (35)
Разложим функции D(X) и |oJ_x_Isgna по степеням X -\~ + 2ft-f-l:
d (X) = 4*+1) -4- (X 2k +1) 42*+1) 4- • • -. (30)
• » •
(31)
4] § 2. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 227
15*
и
| о ГХ-1 = oafc — (к-\- 2k -h 1) о2* In i о i -f-
+ ±(k-\-2k-\-l?o*k 1п2 1 a I -h (36)
получаем:
(2fc+l) 2fc
H НЧ = XT2T+T +K3ft+1)o2ft - с??+1Ь«* Ш I a I ] -4-+ (X + 2k 1) [c^+Do8* — c(02fc+%2fc In I a I -f-
+ \ c?* + l>att ln2 I a IJ -f . . . (37)
Следовательно,
F[ I x Г2*"1] = с$к+1)°*к - с^*4»* In I a |, (38)
/>[|*Г'*-11п|*|] =
= c<2*+V& _ c?*+V* Ш i a i+- I c^a"* In2 | a |, (39)
Аналогичные вычисления производим с обобщенной функцией | х |х sgn х в окрестности значения Х = —2k:
1^1 sgn* = 2 {2к_\}; ^-p^-r-lxl sgnx +
—f— (X —f— 2?) | jc | ~2fc lh I jc J sgn x -j- . .
F [ j x [x sgn x] = 2 77 jqhi + f t1 X Г* SgD *1 +
-^(Х-г-гй) F [| x |"2ftln| x|sgnx] + . . . (40) С другой стороны, перемножая разложения
| о Гх-1 sgn a = a2*-1 — (X -(- 2Л) a2*-1 In | a j -f-
(X + 2^)2a2*-4n2|a|, (41)
и
d (x>= x^i + + <x + 2a:> ^ -+-¦••¦ (42>
228 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
Ь ходе вычислений мы ввели следующие функции:
гх — с№
А(к) = 1е 2Г(ХЧ-1) = ^Ч-«ога)4-^п)(^ + Ю-Г- ....
/i(X) = -te 2Г(Х41)=:_^_4_^) + ^)(Х4-л)4- ....
\ с{п)
С (X) = - 2 sin ^ Г (X + 1) = ^-=1 4- -f- (X 4- «) 4- ...,
D (X) = 2 cos *j Г (X + 1) = j^-pl + 4" rfiW)(^ + я).
Заметим, что В(к) = А(к) при вещественных X, т. е. В (к) получается из А (X) заменой i на — /. Далее, С(Х) = Л(Х)4 4 В (X), т. е. С (X) = 2 Re Л (X) при вещественных X, а D (X) = = Л(Х) — 5(Х), т. е. D (X) = 2г Im А (X) при вещественных X.
находим:
гч лм 1-Л-1 -1 2fc-l , Г ,(3*) 2&-1 ,(2к) 2fc-l . I ,1 .
D(X)\a\ sgn о=х + 2ko -\-[d\ 'о —dLi'o In |a|J-|— + (X -4- 2ft) [42 Vй-1 — rffV*"1 In I о I 4-
-{-А^а^-Мп^аОЧ- ... (43)
Сравнивая (40) и (43), получаем формулы:
с, Г, ,-2fe 1 .j(2ft) 2fc-l -j(2k) 2fc-l . , I
Z7 [ i x i sgn x\ = idb a — id-i a In J a |,
F \ \х\~2к\п\х\щп x] =
..C2fc) 2Л--1 -„i(2&) 2fc-l , , . . * ,(2ft) 24-1. |
— idi a —га0 'a In ] a | —(—« —l a In2 |a |,
5] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 229
/П—1
+ (1+Т+ ••¦ -г-7Г^г)г'(1)-ьг"(1) +
+ 'т[1+т+---+1Г=т-ьг'ф]}:
г,Н=а|и); ciw) = 2ReaSn); д?* = 2 Im а{я).
В частности,
AW_(-0W"1 . г(п)_2(-1)"-1 . п
(/г-1)! ' с-1~- (л-1)! COS(rt —1)т,
,(«) 2(-1)и . , „я
б. Преобразование Фурье обобщенной функции (ад:2 -(- &д? с)+• Рассмотрим функцию (ах2-\-Ьх-\-с)х+, равную (ах2 -f-?х-f-с)х при тех х, при которых ax2 -f-?х-|-с > О, и равную нулю при остальных, х. Соответствующая обобщенная функция определяется равенством
{(ах2-\-Ьх -{-с)х+, ср (х)) = J* (ax2-f-bx -\-c)xcp (x) dx
ах* + Ьсс+с >0
(1)
при тех X, при которых интеграл существует, а при других X — как аналитическое продолжение этого интеграла.
Область, в которой ах2-\-bx-\-с ~> О, если она существует, может иметь один из следующих видов:
1) интервал a < х < Р;
2) вся прямая;
3) лучи х < а и х > (3 (a < Р);
