Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
совершая преобразование координат tx — y, x = t~1y, dx — t~ndy, r= j x I = t-1 \y |, мы получаем:
gx(ta)= j \y\xt-x-nei(°>v)dy = t-x-ngK(a).
Это означает, что gx(p) есть однородная функция степени — X — я. Поэтому она имеет вид gx(p) = С хр~х~п. Вычислим постоянную С\. Для этого используем формулу
(gv ф) = (2тс)ге (лх, ср), в которой положим*) у(х) = е 2 = < ( <\ ( <
3] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 243
Г
т'
п Х+п п
F [Л(г)1 = (2«)« 2 * -Л-^_ = (2*)«/_х_(Р). (2')
ГН)
Разложение функции гх в ряд Тейлора или Лорана приводит к новым формулам преобразований Фурье.
Мы знаем из п. 6 § 4 гл. I, что в окрестности регулярной точки \
гх _ гхв (X. _ Хо) rxo In г -f 1 (X — Хо)2 лх° In2 л 4- ... Отсюда
гх =7? + (X — Хо) F [rx» in г] + 1(Х-Х0)2 /> [/¦*« In2 л] 4- . . . (3)
С другой стороны, разлагая функцию гх = Схр-х-ге в окрестности точки Xq в ряд Тейлора, мы получим:
. схР-х-п = сХоР-х"-и 4- (к - Хо) FI„p-x»-n + Cxj."^-" In Р] -h
+ 4 - \»)2 Кр^"-та + 2CloP-x-re In р + СКр-"о-п In3 р] 4-• • .
(4)
16*
Отсюда находим:
Сх = 2^+—+^+ 4«Т V 2 j = 2х+п^ { 2 ) и, следовательно,
F[rxj = 2x+*V2 v ^ / p-x-n (2)
Это равенство, выведенное для — п < Re X < 0, остается справедливым в полной области существования аналитической функции гх, т. е. при всех к Ф—п, —п—2, . . . (в исключенных точках функция гх имеет полюсы).
Разделяя формулу (2) на г|^"'|, приходим к следующей простой формуле преобразования Фурье для целой
_± .х функции Д(г) = 2 2
244 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [3
2„ f [/—am-™ in rj _ 1 ?.{n+2m)p2m In2p _|_
2
4- C(n+2TO)p2m In p 4- c(n+2m)p2mt
(H)
Сравнивая коэффициенты в разложениях (4) и (3), получаем: F [rXa In г] = C[tP-x"-n -4- аор-к~п In р, (5)
F [гх« 1па г] = С'^-п + 2<р-х-эт In р + СХор-х°-ге In2 р (6) и т. д.
В окрестности особой точки X = — п — 2т
r'= X-f» + 2m+ao + ^(^ + « + 2fft)-T- (7)
где коэффициенты а_и а0, аъ... имеют выражения (гл. I, § 4, п. 6)
a-i=ara 8<^У , й0 = 2пг-^—, а1 = 2яг-*»-»1пг.
(8)
применяя к обеим частям равенства (7) почленно преобразование Фурье, находим:
(2т)! + ^ пГ [Г 1 ^
+ Qn (к-{-п-{-2т) F[r-2n-m In г). .. (9) С другой стороны, в окрестности этой же точки
Х + п' +2т+ 4И+Зте)+^(1П+Ш) (Х+«+2^)4- • • • j X
Х(р2та + (х + „+.2т)р^1пР+...)^х-1/г+^/и-4-4- (c^+2TO)paw In р -4- с^+2от)р3то) 4- (X Н- ft 4- 2/и) х
X с^+2то)р2от in2 р 4- с("+2то)р2от in р 4- с^+^р2™) 4- ... (Ю)
Приравнивая соответствующие коэффициенты разложений (10) и (8), получаем:
F [о<2™> (г)] = с(«+2»»р2™,
2n F [г~2п~т ] = с(л+2те)р27» In р 4- С(«+2га)р2?гея
4] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 245
Здесь числовые коэффициенты с^+27П>, cfa+2™) и т. д. суть коэффициенты разложения в ряд Лорана функции Сл(1) в окрестности Х = — п — 2т.
4. Преобразование Фурье обобщенной функции, сосредоточенной в ограниченной области. Покажем, что преобразование Фурье всякой обобщенной функции /, сосредоточенной в ограниченной области, есть функционал типа следующей функции от а:
(fix), е1&>°)).
Понимать это выражение нужно следующим образом: функция ei(-x'°) заменяется основной функцией ср0(д;), равной е1 (х>а> в той области, где сосредоточен функционал /, и обращающейся в нуль вне достаточно большой области; затем к ней применяется функционал /:
(7. ?о(*)) = (7Г?ГШ-
Полученное при этом число не зависит от выбора функции <р0 (лг) с указанными свойствами (см. добавление 1 к гл. I, п. 3). Мы должны проверить, что справедливо равенство
j (Г(Х~), е* <»• ^ ф (a) da = (2*)" (/, ср)
для любой основной функции ср(лг) и ее преобразования Фурье ф(а). Но
(/. ?) = (/. p^rf Ф (а) *-*<'.»> do).
Если мы внесем теперь функционал / под знак интеграла, то наше утверждение будет доказано:
V- ^=(2^/"«гООС/.*-*'*-(Щп/(Ш. e^-^n(a)do.
(1)
Нам остается поэтому проверить законность внесения функционала / под знак интеграла. Покажем сначала, что это справедливо для интеграла по ограниченной области:
(/. f Ф. («) *"* (а'х) = f Ф (а) (у, е~*(а' ^
V о J а
246 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [4
/, J*+(а) в" Л
Но, с другой стороны, (/, Sjy) есть интегральная сумма для непрерывной функции от ст
Ф (*)(/, *-*<"¦»>);
она имеет пределом интеграл от этой функции. Таким образом, равенство (1) для ограниченной области G установлено.
Далее, интеграл по всему пространству есть предел интегралов по ограниченным областям:
f ф (а) «-*<"• ^rfo = lim Г 4/(о)в-*^в)л.
J N ¦> со J
Вп I a I < N
Функции от х, стоящие под знаком предела, сходятся к своему пределу, т. е. к левой части, снова равномерно вместе со всеми производными в каждой ограниченной области изменения переменного х, и таким же образом можно считать, что эта сходимость есть сходимость в пространстве К- Поэтому
//, J* ф (а) е~* <а' da\ = lim Л, j ф (а) е~1 (о' х) da\ =
