Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 42
Эволюция отсутствует и в случае собственного вырождения, если возмущение снимает вырождение и на уровне энергии имеется много инвариантных торов. Соответствующее условие снятия вырождения для гамильтониана вида (32) записывается в форме
Wf*0' W*0- (33)
Здесь /1, I2- две имеющиеся в задаче переменные «действие».
Теорема 16 ([5])- Если система с двумя степенями свободы в случае собственного вырождения удовлетворяет условиям (33), то при всех начальных данных переменные «действие» вечно остаются вблизи своих начальных значений.
Вырожденная система с двумя степенями свободы «более интегрируема», чем обычная возмущенная система, в следующем смысле.
Теорема 17 ([107]). Пусть для вырожденной системы (32) выполнены условия (33) и, кроме того, условие дН0і/дІ2ф0 (означающее, что «медленная» частота не обращается в нуль).
25-1
201 Тогда мера множества исчезающих при возмущении торов экспоненциально мала (0(ехр(—const/e)) вместо 0(|е) в невырожденной системе), отклонение тора от / = COnst имеет порядок е.
<] Причина этого явления — в том, что «быстрая» и «медленная» частоты различаются в '/є раз, н резонансу между ними соответствуют гармоники возмущения, имеющие высокий порядок '/є и, соответственно, малую амплитуду 0(ехр(—const/e)). >
Замечание. Аналогичные утверждения справедливы, если у системы полторы степенр свободы, т. е. на систему с одной степенью свободы наложено возмущение, периодически зависящее от времени. Нужное условие невырожденности — д2Н0/дІ2ФО. В случае собственного вырождения при полутора степенях свободы гамильтониан имеет вид
// = еЯо,(/)+е8Я„(/, ф, ґ. е). (34)
Условие снятия вырождения — д2Н0\!дІ2ФО. Мера разрушающихся торов экспоненциально мала, если, кроме того, SH0JdI Ф ф 0. Д
Если система с двумя степенями свободы невырождена, но не является изоэнергетически невырожденной, то переменные «действие» вне инвариантных торов иногда могут эволюционировать.
Пример 17 ([18]). Система с гамильтонианианом H = = '/2(/12-1" ) +е sin (ф!—ф2) имеет «быстрое» решение Ii = -Bt, h = tt, фі = —'/2е/2, ф2 = —'/ге/2. Дело в том, что на невозмущенном уровне энергии лежит луч Ix = —/2, вдоль которого отношение частот остается постоянным и равным 1. Этот луч и является «каналом сверхпроводимости». Д
Б. Щель между колмогоровскими торами. Опишем структуру щели между колмогоровскими торами, возникающей вблизи заданного резонанса. Для простоты рассмотрим случай полутора степеней свободы (см. замечание к п. З.З.А). Для приближенного описания движения, в соответствии с п. 2.1, усредним возмущение с учетом резонанса Аіи + -I-As2 = O. Для I, q = <p+ (k2fki)t получается гамильтонова система с одной степенью свободы. Ее фазовый портрет в окрестности резонансного значения I в случае общего положения похож на портрет маятника (см. п. 2.1 и рис. 43а). Этот портрет можно считать сечением фазового пространства /, ф, t усредненной системы плоскостью t = 0. Равновесиям на рис. 43а соответствуют периодические решения, сепаратрисам — асимптотические к этим решениям при t-*-±:00 поверхности (их также называют сепаратрисами), замкнутым кривым — двумерные инвариантные торы.
Эту картину можно немного уточнить, сделав несколько ша -гов процедуры исключения быстрой переменной (п. 2.2) и от -
202 а
6
Рис. 43
бросив возникающие в гамильтониане дополнительные члены более высокого порядка малости. При этом снова получится система с одной степенью свободы, фазовый портрет которой близок к портрету рис. 43а.
Как повлияют на движение отброшенные малые члены? Периодические решения сохраняются (это следует из теоремы о неявной функции). Асимптотические к ним поверхности также сохраняются. Однако поверхности, асимптотические при /-¦- + оо и t-y—оо к разным решениям (или даже к одному решению) уже не обязаны совладать друг с другом (см. рис. 436, на нем показано сечение фазового пространства плоскостью t=0). В этом состоит явление расщепления сепаратрис, открытое Пуанкаре [34].
Вопрос о судьбе инвариантных торов решается теоремами 14 и 17. Движение вблизи резонанса может быть описано системой со снятым собственным вырождением вида (34), только роль малого параметра играет Уе; фазовые переменные в этой системе — время и переменные действие—угол на портрете рис. 43а. Поэтому вдали от сепаратрис имеются все найденные при усреднении торы, кроме доли 0(ехр(—с/Уе)), с= = const>0. Вблизи сепаратрис нужно специальное исследование. Оно показывает, что торы имеются экспоненциально близко к сепаратрисам, так что сепаратрисы заперты в экспоненциально узкой зоне [108].
Найденные торы при удалении от резонанса переходят в обычные колмогоровские торы.
Замечания. 1. Вопрос о вычислении асимптотики экспоненциально малого угла между расщепляющимися сепаратрисами рассматривался в самое последнее время В. Ф. Лазуткиным.
2. Естественно ожидать, что в системе общего положения суммарная мера «неторического» множества, соответствующего всем резонансам, экспоненциально мала. Однако это не доказано. Д
