Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если л — 1, то получается сохраняющее площадь отображение обычного кругового кольца (рис. 44). Невозмущенное (є = = 0) отображение представляет собой на каждой окружности
205 / = Const поворот. Условие невырожденности означает, что угол поворота от одной окружности к другой меняется (рис. 44а). Окружность, угол поворота которой 2я-иррационален, называется нерезонансной. Образы любой ее точки при итерациях отображения заполняют такую окружность всюду плотно. Окружность, угол поворота которой 2л-рационален, называется резонансной. Она состоит из периодических точек невозмущеи-ного отображения.
При возмущении нерезонансные окружности (и притом такие, что угол их поворота а не слишком хорошо аппроксимируется 2л-рациональными числами: \a—2nplq\>c^tq~v, п+1< <\<4i(r + 1)) не исчезают, а лишь немного деформируются. Резонансные окружности разрушаются (рис. 446).
Теоремы об инвариантных торах для гамнльтоновых систем и симплектических отображений сначала доказывались независимо (хотя и почти одинаковыми методами). В случаях конечной гладкости и С~ эти теоремы могут быть выведены друг из друга, так как отображение последования для гамильтоновой системы имеет вид (35), и обратно, всякое отображение вида (35) может быть получено как такое отображение последования [150]. Согласно [150], это верно и в аналитическом случае, но доказательство не опубликовано.
Б. Инвариантные торы в теории малых колебаний. Другие случаи, в которых существуют колмогоров-ские торы, связаны с теорией малых колебаний. Рассмотрим, в частности, гамильтонову систему с п степенями свободы в окрестности ее положения равновесия. Пусть равновесие устойчиво в линейном приближении, так что определены п собственных частот oil......(L)n- Пусть, далее, между этими частотами
нет резонансных соотношений до 4-го порядка включительно:
Рис. 44
кит+ ... при 0<|fcij+ ... + |ft„|ss=4.
205 Тогда функцию Гамильтона можно привести к нормальной форме Биркгофа (см. гл. 7 § 3)
Я=Я0(т)+..., Яо(т) =SejTl +VaScojZCiTi, Ti = 1Mp,2+^2).
Здесь точки означают члены выше четвертой степени относительно расстояния от положения равновесия. Система в окрестности равновесия называется невырожденной, если
** (^H-4stW*0-
Система называется изоэнергетически невырожденной, если
/ д-Н, дН, \
" -det!"'/"I^0-
VdT 0 /,
Если система невырождена или изоэнергетически невырождена, то говорят, что гамильтониан обшего эллиптического типа.
Система с гамильтонианом H0 интегрируема, движение в ней происходит по инвариантным торам x=const. Система с гамильтонианом Я, следовательно, близка к интегрируемой в достаточно малой окрестности положення равновесия. Ситуация похожа на ситуацию теоремы Колмогорова.
Теорема 20 ([5], [301). У гамильтониана общего эллиптического типа в окрестности положения равновесия имеются инвариантные торы, близкие к торам линеаризованной системы. Они образуют множество, относительная мера которого в полидиске |т|<е стремится к 1 при є->-0. 3 изоэнергетически невырожденной системе такие торы занимают большую часть каждого уровня энергии, проходящего вблизи равновесия.
Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске |т|<е не меньше 1—0(е1/4). Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е"_3,/4). Д
В случае л = 2 изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При л = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции H0 не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на линейную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположим, что между частотами wi и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можно привести к нормальной форме
// = //„( т„т,)+..., H0= J Ачх iV«
где точки означают члены выше 1-го порядка относительно расстояния от положения равновесия. Рассмотрим функцию
207 Ао(є) =#o(eoj2, —еші). Если Л0(е) не обращается тождественно в нуль, то равновесие устойчиво.
Другие случаи, где имеют место аналогичные утверждения об инвариантных торах и устойчивости, связаны с теорией малых колебаний в окрестности равновесия системы с периодическими и условно-периодическими коэффициентами, периодического решения автономной гамильтоновой системы, а также в окрестности неподвижной точки симплектнческого отображения. Соответствующие формулировки приведены в [6].
3.6. Вариационный принцип для инвариантных торов. Кан-торо-торы. Инвариантный тор гамильтоновой системы, несущий условно-периодические движения с заданным набором частот, является экстремалью некоторого вариационного принципа. Сформулируем этот принцип, найденный Персивалем (I. С. Per-cival) '[181], [182].
Для формулировки удобно перейти от гамильтонова описания движения к лагранжевому. Пусть H(p,q)—гамильтониан системы с п степенями свободы. Предположим, что из соотношения г=дН (p,q) /др можно выразить p = p(r,q). Тогда изменение со временем величин q, r = q описывается лагранжевыми уравнениями с функцией Лагранжа
