Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подобным же образом исследована устойчивость стационарных вращений тяжелого твердого тела около неподвижной точки [76].
Сформулируем некоторые результаты, следующие из утверждений об устойчивости равновесия периодически зависящей от времени системы с одной степенью свободы, периоди-
212 чесного движения системы с двумя степенями свободы и не» подвижной точки симплектического отображения плоскости:
— если равновесие маятника в периодически меняющемся со временем поле устойчиво в линейном приближении и его мультипликаторы не попадают в точки единичной окружности с аргументами -уу, у, у=0, 1,...,7, то равновесие устойчиво;
— замкнутые геодезические на поверхности общего положения в трехмерном пространстве, устойчивые в линейном приближении, устойчивы;
— если траектория мячика, прыгающего между двумя вогнутыми стенками общего положения (или, что то же, луча, отражающегося от двух зеркал (рис. 45)), устойчива в линейном приближении, то она устойчива.
Рис. 45
Применения теории KAM к задаче о вечном сохранении адиабатических инвариантов описаны в § 4.
Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шрёдингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шрёдингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шрёдингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции". В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера.
'> Почти-собственная функция приближенно удовлетворяет уравнению для собственной фуикцни, но может быть далека от иее.
213 § 4. Адиабатические инварианты
В этом параграфе описывается влияние плавного изменения параметров на движение в интегрируемой гамильтоновой системе. Адиабатическим инвариантом такой задачи называется функция фазовых переменных и параметров, значение которой мало изменяется при значительном изменении параметров. Основные результаты теории относятся к одночастотным системам.
4.1. Адиабатическая инвариантность переменной «действие» в одночастотных системах. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы, параметры которой плавно изменяются; гамильтониан ? = ?(р, q. к), Х=А,(т), т = е/, 0<е<<1 (например, маятник с плавно изменяющейся длиной). Функцию Я,(т) будем предполагать достаточно гладкой.
Определение. Функция I(p, q, X) называется адиабатическим инвариантом, если для любого х>0 найдется єо=єо(х) такое, что для е<е0 изменение l(p(t), q(t), Я(єО) при <1/є не превосходит х".
Предположим, что функция Гамильтона Е(р, q, к) имеет при каждом фиксированном к замкнутые фазовые кривые (скажем, окружающие равновесие маятника (рис. 46)), частота движения по которым отлична от нуля. Тогда можно ввести переменные действие—угол системы с фиксированным X:
Наша ближайшая цель — доказать адиабатическую инвариантность величины /.
Предложение 1. Изменение переменных /, <р в системе с плавно изменяющимся параметром описывается гамильтониа-
11 Впервые такие почти-сохраняющиеся величины обнаружил Больцман (L. Boltzmann) при рассмотрении адиабатических процессов в термодинамике. Термин «адиабатический инвариант» ввел Эренфест (Р. Ehrenfest). Существовало много различны« определений адиабатической инвариантности. Приведенное определение, ставшее теперь общепринятым, дано А. А. Андроновым, М. А. Леонтовичсм, Л. И. Мандельштамом. Подробное изложение истории вопроса см. в [49|.
/ = /(р, q, к), <р=<р(р, q, А.)тос12л.
Рис. 46
214 # = //„(/, Х)+еЯ,(/, Ф, e,t)-.
7--е дч> ' *—дГ + е <?/ '
где Я0 — это гамильтониан Е, выраженный через /, к, a Я і имеет по ф период 2я.
Форма уравнений (36)—стандартная для применения принципа усреднения п. 1.1.
Предложение 2. Переменная «действие» / является интегралом усредненной по фазе системы.
<Правая часть уравнения для / — производная периодической функции, а потому имеет среднее значение нуль.
Теорема 23. Если частота ю(/, к) системы с одной степенью свободы не обращается в нуль, то переменная «действие» I(p, q, Я,)—адиабатический инвариант:
I / (P (t), q(t), к (Bt)) -1 (р (0), q (0), к (0)) | < се,
0</< I, c=const >0.
6
<] Согласно теореме 1 § 1, принцип усреднения описывает решение одночастотной системы с точностью порядка е за время 1/е, а / — интеграл усредненной системы. t>
Пример 19. Для гармонического осциллятора адиабатическим инвариантом является отношение энергии к частоте / = A/to. Л
