Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
11 Исчезновение одной частоты связано с наличием у системы интеграла момента количества движения.
186ненциально убывает при линейном убывании возмущения {18] (см. ниже п. 3.4). Однако до сих пор неизвестно, происходит ли в действительности такая эволюция и, тем более, может ли она привести к разрушению планетной системы. А
Вопросы о соответствии решений точной и усредненной систем во всех приведенных примерах носят общий характер и решаются в рамках теории KAM, см. § 3.
В случаях, когда частоты невоэмущенного движения близки к целочисленной соизмеримости, для приближенного описания эволюции используется частичное усреднение с учетом резонан-сов (п. 1.1). Для рассматриваемых гамнльтоновых систем оно, очевидно, сводится к отбрасыванию в разложении Фурье возмущенного гамильтониана всех гармоник, фазы которых при рассматриваемых соизмеримостях изменяются быстро. Sfra процедура также приводит к появлению интегралов усредненной системы.
Теорема 12. Частично усредненная с учетом г независимых резонансов гамильтонова система имеет п—г интегралов в инволюции, являющихся целочисленными линейными комбинациями первоначальных медленных переменных Ij.
< Сделаем симплектическую замену переменных I, <р•-»/>, q с производящей функцией W= (р, /?ф), где R— целочисленная унимодулярная матрица, первые г строк которой образуют базис в подгруппе Zm, порожденной векторами коэффициентов рассматриваемых резонансных соотношений; матрица R существует согласно [145]. В новых переменных усреднение сводится к отбрасыванию в гамильтониане гармоник, содержащих фазы qr+i,..., qn- Сопряженные им величины pr+b..., р„ являются интегралами усредненной системы. t>
Если имеется всего один резонанс, то частично усредненная с его учетом система имеет п—1 интегралов в инволюции (отличных от интеграла энергии) и, следовательно, интегрируема.
Пример 14. Пусть в плоской круговой ограниченной задаче трех тел период иевозмущенного движения астероида близок к половине периода обращения Юпитера. Воспользуемся каноническими переменными L, G, I, g примера 10. Величина /+ + 2g является медленной переменной. Производящая функция W и новые переменные Pi, qit введенные при доказательстве теоремы 12, задаются формулами
W=Pl(l+2g)+P2(-l-g), pi = G-L, qi = l+2g, Pi = G—2L, qi = —l—g.
После усреднения с учетом резонанса величина р2 становится интегралом, а для pv qx получается гамильтонова система с однойстепенью свободы. Ее фазовый портрет для различных значений р2 и малых pi показан на рис. 40. На портрете в качестве полярных координат выбраны —^1=—V^Z. (]Л — е2—l)Al/Z.e2/2 и qv Д
Рис. 40
В случае одного резонанса фазовый портрет усредненной системы близок к фазовому портрету задачи о движении маятника в потенциальном поле (при достаточно общих предположениях) [34]. Действительно, усредненный гамильтониан в переменных р, q, введенных при доказательстве теоремы 12, имеет вид
F = F0(ри р2.....р„)+єЛ(рі, Рї» «• •» Pn, <7і)-
Пусть pi* = pi*(pi, .., р„)—простое резонансное значение pi, т. е.
(24)
_ dpi' Введем в его l/e-окрестности новую переменную P1 = = (/?i—pi*).'vе и, соответственно, новый гамильтониан Ф= =F/Ve. Если исходный гамильтониан F регулярен в окрестности резонанса, то
Ф=КеО/2 aP2 + V(qi)) + 0(e),
V{q^=Fi(p*, р2.....рп, <7i).
Явную зависимость а, V от параметров р2,..., рп указывать не будем. Если отбросить в (24) добавок 0(e), то получим гамильтониан задачи о движении маятника в потенциальном поле, фазовый портрет которой показан на рис. 41. На фазовом портрете имеются области колебательных и вращательных движений маятника, разделенные сепаратрисами. Характерный размер колебательной области по переменной р{ и характерная амплитуда колебаний рі —_порядка Уе, характерный период колебаний — порядка 1 /Уе. Положения равновесия на рис. 41 называются стационарными резонансными режимами. При учете переменных <7г,..., q„ им соответствуют условно-периодические движения (если число степеней свободы л = 2 — периодические движения).
188Замечания. 1. Если в рассматриваемой области значений переменных гамильтониан не является регулярной функцией, то фазовый портрет усредненной системы может быть другим, чем на рис. 41. Так будет в задаче примера 14, если рассматривать малые значения эксцентриситета (ср. рис. 40 и 41).
2. Эффекты, связанные с резонансами, неожиданно часто встречаются в природе. Большие возмущения. Сатурна Юпитером («большое неравенство») связаны с соизмеримостью 2:5 их кеплеровских частот. Известны три резонансных соотношения в системе спутников Сатурна: частоты Мимаса и Тефии относятся (примерно) как 2:1, Энцелада и Дионы — также как 2:1, Титана и Гипериона — как 3:4. Частота осевого вращения Меркурия составляет 3/2 его орбитальной частоты. Таблицы встречающихся в Солнечной системе соизмеримостей приведены в [50]. В большинстве случаев причины возникновения этих соизмеримостей неизвестны. Для описания движения вблизи соизмеримости успешно используется описанная выше процедура частичного усреднения. Д