Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
W {1) X Г" {Ь} -+Rn(I)XTn {ф}, ограничение которого на канторово множество стандартных торов Qx X Tn отображает его в колмогоровское множество. В переменных I, Ь при уравнения движения записываются в виде
ї=о, w,
Диффеоморфизм 1F имеет анизотропную гладкость — число его производных по фазе д больше, чем по частоте |. Гладкость по й — это гладкость отдельного инвариантного тора, а гладкость по ?— собственно гладкость семейства торов.
Порядок гладкости диффеоморфизма xF оценивается сверху через порядок гладкости возмущения. В частности, если возмущение аналитично, то 1Ir аналитичен по Ф (т. е. каждый тор аналитичен) и бесконечно дифференцируем по | (т. е. торы образуют бесконечно дифференцируемое семейство). Это лучшее, чего можно ожидать, так как если Mt оказался бы аналитнчным по всем переменным, то возмущенная система была бы вполне интегрируемой.
В случае изоэнергетическои невырожденности семейство торов на каждом уровне энергии аналогичным образом гладко параметризуется отношениями частот (и гладко зависит от энергии).
5°. Возмущенная система вполне интегрируема на канторо-вом множестве [184]. Это означает, что в невырожденном случае при достаточно гладком возмущении существуют симплек-тическая замена переменных /, ф-ф с производящей функцией Jq> + eS(J, ф, е) и невырожденный гамильтониан Ж(І, є) такие, что
"¦>(/+.$+.*,(/+.& Ф, сл.),
причем это равенство можно дифференцировать достаточное количество раз. Здесь — прообраз стандартного канторова множества Qx (см. 2°) при отображении J-*data/dI. В изоэнер-гетически невырожденном случае формулировка аналогична. Функции S, Ж получаются из соответствующих функций, дава-
199 емых процедурой п. 2.2.В, сглаживанием в «щелях» между колмогоровскими торами.
Часто встречается случай собственного вырождения , когда невозмущенный гамильтониан не зависит от некоторых переменных «действие». Скажем, что возмущение снимает вырождение, если возмущенный гамильтониан приводится к виду
Я = Яоо(/)+еЯо,(/)+е2Я11(/, ф. е). (32)
где Hoo зависит только от первых г переменных «действие» и является по этим переменным либо невырожденным, либо изо-энергетически невырожденным, a H01 зависит, вообще говоря, от всех «действий» и является невырожденным по последним п—г из них (гессиан H0i по ........... отличен от нуля). Систему с гамильтонианом Яоо+еЯоі назовем промежуточной.
Теорема 14 ([5]). Пусть возмущенная система вырождена, но возмущение снимает вырождение. Тогда большая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам / = const промежуточной системы. Фазовые кривые обматывают эти торы условно-периодически, с числом частот равным числу степеней свободы. Из этих частот г соответствуют быстрым фазам, а п—г — медленным. Если невозмущенный гамильтониан изоэнергетически невырожден по тем г переменным, от которых он зависит, то описанные инвариантные торы составляют большинство на каждом многообразии уровня энергии возмущенной системы.
Замечание. Во многих задачах возмущение периодически зависит от времени: H=H0(I) +єЯі(/, ф, t, е). Этот случай сводится к автономному введением времени в качестве новой фазы. Если det д2Но/д!2фО, то полученная так система изоэнергетически невырождена и в ней, согласно теореме 13, имеется много л-мерных инвариантных торов. Если в такой системе есть собственное вырождение, но возмущение его снимает, то инвариантные торы доставляет теорема 14. А
Пусть гамильтониан имеет вид Н = Н0(1, р, q) +еЯі (I, ф, р, q), где H0 имеет при всех I равновесие (р, q) =OtR2m с не чисто мнимыми собственными числами и невырожден по I. Тогда при малых е большинство невозмущенных инвариантных торов р = = <7 = 0, / = Const не разрушается [155]". Если m= 1, то торы сохраняются и при мнимых собственных числах [29].
В [29] Мозер построил теорию возмущений условно-перио-дических движений негамильтоновых систем. В частности, доказано сохранение инвариантных торов в обратимых системах.
3.3. Системы с двумя степенями свободы.
А. Отсутствие эволюции. В системах с двумя степенями свободы из наличия большого количества инвариант-
[29]'аКИЄ гипеР^°*1ическис Т0РЫ изучали также В. К. Мельников и Мозер,
200 ных торов следует отсутствие эволюции для всех (а не только для большинства) начальных условий.
Теорема 15 ([4]). В изоэнергетически невырожденной системе с двумя степенями свободы при всех начальных условиях переменные «действие» вечно остаются вблизи своих начальных значений.
<] В рассматриваемой системе фазовое пространство четырехмерно, уровень энергии трехмерен, а колмогоровские торы двумерны и заполняют большую часть уровня энергии. Двумерный тор делит трехмерный уровень энергии (на рис. 42 показано расположение торов на уровне энергии). Фазовая кривая, начавшаяся в щели между двумя инвариантными торами возмущенной системы, вечно остается запертой между этими торами. Соответствующие переменные «действие» вечно остаются около своих начальных значений. Колебания^ переменных «действие» не превосходят величины порядка Уе, так как мера щели и отличие тора от невозмущенного (/ = const) оцениваются величинами такого порядка. t>
