Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
L(q, r)=p-r—H(p, q). Пусть (оЄ#п — вектор частот разыскиваемых условно-периодических движений. Для любой гладкой функции f:Tn{Q}-*-R будем обозначать
A¦>/ = ? /<»/ + •)!,_
Пусть 2 —гладкий «-мерный тор в фазовом пространстве q, г, заданный параметрически соотношениями q=*qz (o), r=Daqz(b), & modd 2яРГ'\ Вариац ий тора 2 назовем близкий тор, задаваемый соотношениями
q = qz (d) + 6, (&), г = D^qz (8) + DJq (»). Введем функционал
(D0(Z)= <?(?*(&), A-rfs (»)) > Здесь угловые скобки обозначают усреднение по д.
Теорема 21 (Вариационный принцип [181]). Гладкий тор 2 является инвариантным тором рассматриваемой системы, несущим условно-периодические движения с вектором частот U), если и только если он является стационарной точкой функционала Ф .
< Запишем первую вариацию функционала в«^- < If + % DM > • = < - Da %) bq ) О.
В этой выкладке использованы интегрирование по частям и 2л-периодичность функций <7s, по
Если тор 2 инвариантен и заполнен условно-периодическимн движениями D„q* (со/ -f &), то, в силу уравнений Лаг-
208 ранжа, 6Ф(„=0, т. е. рассматриваемый тор — стационарная точка функционала.
Обратно, если 6ФШ=0, то Det^r--=0. Тогда qz(о*-И),
D^qs («о/ + &)—условно-периодическое решение рассматриваемой системы. [>
Сформулированный вариационный принцип дает возможность разыскивать инвариантные торы как стационарные точки функционала Ф„.
Согласно знаменитому высказыванию Гильберта (D. Hilbert), «всякая задача вариационного исчисления имеет решение, если только слову «решение» придать соответствующий смысл» [196]. Колмогоровские торы являются экстремалями сформулированного вариационного принципа для систем, близких к интегрируемым, и векторов частот о> с сильно несоизмеримыми компонентами. Какое «решение» имеет поставленная вариационная задача для систем, далеких от интегрируемых, или для ненормально соизмеримых частот? Ответ имеется пока в случае двух степеней свободы (Мазер [169], [170], Обри (S. Aubry) [139]). Решением оказался канторо-тор1\ инвариантное множество, получаемое вложением в фазовое пространство канторова подмножества стандартного двумерного тора. Ниже приводятся более точные формулировки.
Рассмотрим для наглядности гамильтонову систему с полутора (а не двумя) степенями свободы, гамильтониан которой H(p,q,t) имеет период 2л по времени t и кординате q. Предположим, что система имеет два инвариантных тора, задаваемых соотношениями P=Po и р=р\>ро. Введем отображение последования для этой системы за время 2л:
f= (fp. fq mod 2л) : RxS1-^RxS1.
Отображение f сохраняет площади и ориентацию, оставляет инвариантными окружности р=ро, p—pi и кольцо П между ними.
Предположим, что dfp/dp>0 в кольце П; в этом случае отображение называется закручивающим. Обозначим vo, vi — числа вращения Пуанкаре для граничных окружностей. Так как отображение закручивающее, то vo<V|.
Теорема 22 ([169]). Для любого v6(vo, Vi) существует отображение А (не обязательно непрерывное) стандартной окружности S1 в кольцо П, A= (Ар, A, mod2л) :S1 {«•}—»-П{р, q) такое, что поворот окружности на угол 2nv индуцирует заданное преобразование f образа окружности: f(A(d)) =A(fl-f2nv), причем выполнены следующие свойства:
а) функция А,— неубывающая,
б) если ft — точка непрерывности A9, то и ft—2nv — также точки непрерывности,
'> Термин «cantorus» предложен Персивалем.
209
27-1 в) функция hp вычисляется ПО формуле Лр(Ф) = =?(А,(Ф), А,(Ф+2лу)),где g — гладкая функция,
г) если число V иррационально, то функция А, непостоянна ни на каком интервале.
<] Нужная функция A4 отыскивается как точка минимума функционала, являющегося дискретным аналогом введенного выше функционала Ф„. Подробности см. в [169], [170]. О
Рассмотрим некоторые следствия этого результата. Если v = т/п — рационально, то для любого Ф точка А(Ф)6П при п итерациях отображения f переходит в себя. При этом на универсальном накрытии кольца—полосе pi<.p<p2, —<»< <<7<оо, — координата q точки возрастает на 2пт. Существование таких периодических точек является одним из известных следствий геометрической теоремы Пуанкаре, доказанной Биркгофом [22]. Исходная гамильтонова система имеет в этом случае периодическое решение периода 2яп, делающее за период т оборотов по углу q.
Если V иррационально, а отображение А непрерывно, то исходное отображение последования имеет инвариантную кривую, гомеоморфную окружности, и на этой кривой топологически сопряжено повороту окружности на угол 2nv. Исходная гамильтонова система имеет двумерный инвариантный тор, обматываемый условно-периодическими движениями с отношением частот v.
Пусть теперь V иррационально, а А, имеет разрывы. Тогда, согласно пункту б) теоремы, точки разрыва всюду плотны. Так как, согласно пункту а), А, не убывает, то есть и точки непрерывности, которые также всюду плотны. Обозначим H и 2 — замыкания соответственно множеств точек A,(d) mod 2n6S' и А(Ф)Ш таких, что Ь — точка непрерывности А,. Тогда, согласно пунктам б)—г) теоремы, S—канторово множество на окружности, а 2 — инвариантная канторо-окружность («одномерный» канторо-тор), движение по которой характеризуется числом вращения v. Этой канторо-окружности соответствует инвариантный канторо-тор исходной гамильтоновой системы. Имеются примеры отображений, у которых нет непрерывных инвариантных кривых, не гомотопных нулю [139]. Все инвариантные множества таких отображений, соответствующие иррациональным числам вращения, — канторо-окружности.
