Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
•> Здесь речь идет об устойчивости по Лагранжу. Движение называется устойчивым по Лагранжу, если его траектория вечно остается в ограниченной области фазового пространства.
191 нию отсутствуют чистые вековые члены (вида tm), но присутствуют смешанные (вида PsinIt, tmcoslt). С появлением «новых» методов оказалось, что можно построить формальные теории без вековых членов, а вопрос — в сходимости получаемых разложений.
Как указал Пуанкаре, ряды Линдштедта в общем случае расходятся.
Пример 15. Рассмотрим систему, в которой частоты невозмущенного движения постоянны и несоизмеримы:
#=Wi+©2/2+e(/i+2 a»sin(k, ф)), кфО |(©, k)\>c\k\~", с, v«const>0, a*=exp(—
Здесь можно вычислить все приближения метода Линдштедта. Если ряды Линдштедта сходятся, то вдоль движения величина |/[ испытывает лишь ограниченные колебания.
С другой стороны, возмущенная система легко интегрируется. Фазы равномерно вращаются с частотами ам+е, ©2. а изменение / определяется квадратурой. При рациональном отношении частот (ші+е)/й)2 величина |/| неограниченно растет вдоль движения (как легко сосчитать). Поэтому ряды Линдштедта расходятся. А
Расходимость, как это часто бывает, связана с тем, что строятся некоторые несуществующие объекты. Дело здесь обстоит примерно так. Если при некотором J ряды Линдштедта сходятся, то возмущенная система имеет инвариантный тор J=const, на котором фаза вращается с вектором частот
ш (У, е) •= dffo'JJ)+4-____Невозмущенные частоты несоизмеримы (так выбиралось значение /). Но частоты возмущенного движения при некоторых е становятся соизмеримыми. Тогда инвариантный тор расслаивается на торы меньшей размерности. Такая ситуация является очень вырожденной и в системах общего положения не встречается. Поэтому ряды Линдштедта в общем случае расходятся.
Замечание. Имеется вариант метода Линдштедта, в котором ищутся инвариантные торы с заранее фиксированными несоизмеримыми частотами. Соответствующие ряды сходятся [29]. Доказательство сходимости этих рядов основано на установлении их тождества со сходящимися рядами теории KAM (см. § 3). Прямое доказательство сходимости пока неизвестно. А
Б. Метод Цейпеля. Этот метод распространяет процедуру метода Линдштедта на случай, когда из гамильтониана исключается только часть фаз. Он позволяет рассмотреть системы с собственным вырождением и резонансные ситуации. Метод Цейпеля перекрывает возможности ранее разработанных для этой цели методов Делоне и Болина.
192 Пусть в системе (23) снова делается симплектическая близкая к тождественной замена переменных вида (25). Новый гамильтониан будем искать в виде формального ряда X (/, т|>, е) = ^=X0(J) + eXi (/, i|>) + • • • • Новый и старый гамильтонианы связаны соотношением
Приравнивая члены одинакового порядка по е, снова получаем систему соотношений (26), но только Xi зависят от фаз и иначе вычисляются Fi.
Пусть — набор фаз, которые требуется исключить
из гамильтониана, убГг — остальные фазы. Тогда можно взять
X1 = < H1 (J, 0) > S1 = - {Я, - + S1O (J), Mi= < Ft(J, Ф,) >*, Sj= -(Ft-XiY + Sfi(J), і >2. (27)
Здесь S(0 — произвольные функции от /. Например, можно выбрать S,°=0.
Если, как и выше, оборвать ряд для S на членах порядка Em и рассмотреть «укороченную» замену переменных, а в преобразованном гамильтониане отбросить члены порядка em+1, то получим гамильтониан т-го приближения. Он не зависит от фаз х; соответственно, полученная приближенная система имеет п—г интегралов и сводится к системе с г степенями свободы. Как и в методе Линдштедта, здесь возникают малые знаменатели. Для того, чтобы в каждом приближении имелось лишь конечное число малых знаменателей, надо модифицировать описанную процедуру аналогично п. 2.2.А.
Пусть рассматривается система с собственным вырождением— невозмущенный гамильтониан не зависит от некоторых переменных «действие». Тогда среди фаз есть медленные и быстрые, а описанная процедура позволяет формально исключить из гамильтониана быстрые фазы. Система первого приближения для новых переменных совпадает с усредненной по быстрым фазам системой.
Пусть теперь задано г независимых резонансных соотношений между невозмущенными частотами. Преобразуем фазы так, чтобы при выполнении этих соотношений первые г фаз были полубыстрыми, а последние п—г — быстрыми. Тогда описанная процедура позволяет формально исключить из гамильтониана быстрые фазы. Система первого приближения для новых переменных совпадает с частично усредненной с учетом заданных резонансов системой. Практически здесь можно не вводить в качестве переменных резонансные комбинации фаз, а действовать в исходных переменных. При этом в формулах (27) усреднение по быстрым фазам заменяется следующей one-
X0 (J) + eX, (У, Ф +є^ J + ... = H0 (/ + е gf) +
25-1
193 рацией: в разложении Фурье отбрасываются гармоники, которые в невозмущенном движении осциллируют при наличии заданных резонансных соотношений.
Ряды Цейпеля, как и ряды Линдштедта, в общем случае расходятся.
Вместо метода Цейпеля часто используется его модификация, предложенная Хори (G. Hori) и Депри (A. Deprit) (см. например, (154]). В этой модификации симплектическая замена переменных, исключающая фазы, задается не производящей функцией, а генератором — функцией W(J, ф, е) = И? і + eW2+ ... такой, что сдвиг за время.е вдоль траекторий гамильтоновой системы с гамильтонианом W дает нужное преобразование /, ф-*/, -ф. Это удобнее, так как производящая функция зависит сразу и от старых (ф) и от новых (J) переменных, а генератор — только от новых переменных. Поэтому при использовании генератора не надо дополнительно решать функциональные уравнения, выражая все только через старые или только новые переменные. Имеются простые рекуррентные соотношения, выражающие коэффициенты разложения по е новых переменных и гамильтониана через старые переменные, гамильтониан и генератор. Коэффициенты разложения генератора последовательно определяются из системы соотношений, эквивалентной (27). Например, первое приближение для генератора просто совпадает с первым приближением для производящей функции: Wi(J, y)=Si(J, ф). Имеютсд программы для ЭВМ, реализующие процедуру Хори—Депри в буквенном виде. С помощью одной из этих программ была уточнена классическая теория Делоне движения Луны [149].
