Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
<] В нерезонансных зонах и резонансных зонах слабых резонансов анализ не отличается от описанного выше. В этих зонах набирается погрешность усреднения, ие превосходящая С6Уе. Остается рассмотреть сильные резонансы, а их, как мы знаем, мало. Условие В состоит в том, что для каждого сильного резонанса частично усредненная с учетом этого резонанса система удовлетворяет условию В п. 1.7 (невырожденность особых точек соответствующего системе «маятника» — см. п. 1.7). В окрестности сильного резонанса делается замена переменных п. 1.3, приводящая в первом приближении точную систему к соответствующей частично усредненной. Получающаяся система лишь малым возмущением отличается от системы с одним резонансом из п. 1.7. Картина прохождения через резонанс описана в п. 1.7. Для всех начальных условий, кроме множества меры порядка Vе. резонансная зона пересекается за время, не превосходящее Cr | Ine |/Ve. За это время набирается погрешность усреднения, не превосходящая
17-1
177 Ce Ve I In є |. Объединяя оценки во всех зонах, получаем, что общая погрешность не превосходит C3 V е J Ine |. При начальных условиях, лежащих вне некоторого множества меры х > С9 V'"e, резонансная зона пересекается за время, не превосходящее Cj0 і InCH1X I/]/ё\ Соответственно, при таких начальных условиях погрешность усреднения не превосходит Ci Vе I In Cs-1X [- D>
Пример 8. Рассмотрим колебания частицы в одномерной потенциальной яме при наличии малого периодического возмущения и малого трения:
dU
х=>--JJ- -feaS (t) —¦ ех<
где 5 — 2я-периодическая функция t, график U (*) и фазовый портрет невозмущенной (е=0) системы показаны на рис. 36. Будем предполагать, что невозмущенная система нелинейна, так что период движения разный для разных траекторий. Пусть h = ]/2x2+U(x)—энергия невозмущенного движения, ф — фаза на невозмущенных траекториях. Возмущенная система двух-частотна, переменные ф и t — быстрые, а Л—медленная. Уравнение для Л имеет вид
к =е [aJcS (O-Jt2I-Усредняя по ф, t, получим
h =— е< JC2).
Движение будем рассматривать в области 1<А<2'>. Усреднение приводит к выводу, что h убывает и все точки уходят из этой области. При достаточно малых а выполнено условие А и усреднение описывает движение при всех начальных условиях. Условие А выполнено для всех а. Оно гарантирует применимость усреднения для большинства начальных данных. Но доля порядка V є точек может застрять на резонансах в области 1 < h < 2. Подробный разбор движения в этой задаче для
JC2 их*
t/ = ~2—I-i^ (задача Дюффннга (G. Duffing)) содержится в [100]. д
і' В действительности результаты справедливы со всей области ЛЗгО [1001.
178 Замечания. 1. Для двухчастотных систем остался некс-. следованным случай, когда условие А нарушается, т. е. отношение частот быстрого движения изменяется в усредненном движении немонотонно.
2. Недостаточно исследован также случай, когда нарушается условие В, т. е. фазовый портрет соответствующего резонансу «маятника» может иметь вид. показанный на рис. 37 (условие А предполагается выполненным). Если имеется одна медленная переменная, то справедлива неулучшаемая оценка: вне множества меры X > C2 Vг погрешность усреднения не превосходит CzVelV* J101J. Для случая, когда медленных переменных больше, такая же оценка погрешности известна пока вне множества меры X> C2E1'3 [114]. Д
Приведем несколько примеров неконсервативных двухчастотных систем:
— маятник под действием неконсерьативной периодически зависящей от времени силы [129];
— два слабо связанных нелинейных осциллятора при наличии слабого трения;
— быстрое вращение тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде [43];
— движение астероида в ограниченной задаче трех тел (см. гл. 2) при наличии сопротивления среды или малой тяги.
В этих задачах большинство решений описывается с помощью независимого усреднения по фазам. Однако при некого-рых соотношениях между параметрами возможен и захват в резонанс.
1.9. Усреднение в многочастотиых системах. Случай, когда число частот больше двух, изучен гораздо слабее, чем двух-частотный. Особенность двухчастотных систем — простое расположение резонансных поверхностей (рис. 35). При большем числе частот поверхности расположены совсем иначе.
Пример 9. Рассмотрим иевозмуЩенную трехчастотную систему
(P1 = /,, ф2=/2. Фз = 1' Л=° (5 = 1.2).
Рис. 38
Здесь резонансные поверхности — это все прямые на плоскости A, I2 с рациональными уравнениями (рис. 38). Кривая на плоскости I пересекает многие резонансные прямые а) под малыми углами (так как сколь угодно близко к любому линейному эле-
21-2
179 менту имеется линейный элемент резонансной прямой) и б) вблизи точек взаимного пересечения резонансных прямых — точек кратного резонанса. Поэтому, если в духчастотном случае основным эффектом является прохождение через отдельный резонанс, то при большем числе частот обязательно надо учитывать касания с резонансами и совместное влияние нескольких (в рассматриваемом примере двух) резонансов.Д
Анализ, учитывающий детали этих явлений, для многочастотных систем не проведен. Тем не менее известны некоторые оценки, обосновывающие применимость метода усреднения. Они получены на основе следующего общего соображения: если множество точек, близких к резонансным поверхностям, имеет малую меру, то для большинства начальных данных фазовая кривая проводит в этом множестве малое время; поэтому естественно ожидать, что для большинства начальных данных усреднение правильно описывает движение.
