Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Общие результаты в этом направлении принадлежат Д. В. Аносову [44] и Kacyre (Т. Kasuga) [160]. Теорема Д. В. Аносова утверждает, что для любого положительного числа р мера множества начальных данных (из компакта в фазовом пространстве), для которых погрешность описания точного движения усредненным превосходит р:
mes {/0, Ф0:шах|/(О-/(О|>Р при / (0) = / (0) = /„},
0</<1/е
стремится к 0 при е-»-0. Эта теорема доказана для возмущенных систем более общего вида, чем стандартный вид (2): не предполагается, что совместные уровни интегралов невозмущенной задачи являются торами; требуется, чтобы при почти всех значениях констант этих интегралов невозмущенное движение на совместном уровне было эргодическим.
Для систем стандартного вида (2) техника работы [160] позволяет получить следующую оценку погрешности усреднения.
Теорема 8 ([103]). Пусть выполнено одно из двух условий невырожденности: ранг отображения /і-»(і)(/) равен числу частої; либо ранг отображения (/) : о>2 (/) : ...:wm(/))
на единицу меньше числа частот. Тогда средняя (по начальным условиям) погрешность метода усреднения не превосходит величины порядка Уе:
f шах |/(/)- J(t)\dl0d%<c1\"г. (21)
J 0<7ч;1/е
Следствие. Обозначим E (є, р) множество начальных данных в пределах фиксированного компакта, для которых погрешность достигает величины р. Тогда
mes E (є, р) < C1 Ke/р. (22)
180 Эквивалентная формулировка: вне множества меры х сп^аведли" ва оценка погрешности усреднения
I/(0—/ (OK
Эта оценка неулучшаема [ЮЗ]0. Однако правдоподобно, что она может быть улучшена, если ограничиться возмущениями общего положения (ср. с оценкой для двухчастотных систем при условиях A, В: погрешность не превосходит С2Уе|1пх|).
Если т>п + 2, то теорема 8 неприменима, однако оценки (21), (22) выполняются для почти всех членов типичного семейства частот с достаточно большим числом параметров А, (В. И. Бахтин). Вместо невырожденности частот, требуемой в теореме 8, здесь используется неравенство: | (k, ш) | + + b))/dl\>c~l\k\-v для v>m— 1 и всех IitZm\{0}. При почти всех значениях Я. оно выполнено с каким-нибудь с>0.
Теорема 9 (В. И. Бахтин). Средняя по начальным условиям погрешность метода усреднения оценивается для систем общего положения с т быстрыми и п медленными переменными величиной порядка єl/(',+l,, если т<С* n+h— п.
Соответственно, правая часть оценки (22) принимает вид С[Єі (ft+n/p Системы не общего положения принадлежат некоторой гиперповерхности в пространстве всех систем.
§ 2. Усреднение в гамильтоновых системах
Задачу о влиянии малых гамильтоновых возмущений на интегрируемую гамильтонову систему Пуанкаре назвал основной задачей динамики. Эта задача имеет много приложений, именно к ней относятся исторически первые формулировки принципа усреднения и первые результаты теории возмущений. Формальная сторона теории здесь в принципе такая же, как для общих негамильтоновых возмущений. Однако характер эволюции под влиянием гамильтоновых возмущений совсем иной. Соответственно, для обоснования рецептов теории возмущений используются существенно другие методы, чем в негамильго-новом случае.
2.1. Применение принципа усреднения. Пусть невозмущенная гамильтонова система вполне интегрируема, некоторая область ее фазового пространства расслоена на инвариантные торы, в этой области введены переменные действие—угол
/, ф :/= (/i.....In)tBczRn, ф= (фь ..., ф„) (modd 2л)?Т".
Гамильтониан Но невозмущенной системы зависит только от переменных «действие»: Hq=H0(I). Уравнения невозмущенного движения имеют обычную форму:
¦> В классе степенных оценок.
181 і =0, ф =дН0/дІ.
Пусть на систему наложено малое гамильтоново возмущение. Возмущенное движение описывается системой с гамильтонианом
//«//о(/) + 8//,(/, Ф, е):
Возмущающий гамильтониан #і(/, ф, е) имеет по ф период 2л. Эта форма уравнений — стандартная для применения принципа усреднения. Если не оговорено противное, функции #о, Hі будем считать аналитическими.
Замечание. Часто встречаются задачи, в которых возмущение периодически зависит еще и от времени t. Этот случай сводится к рассмотренному введением новой фазы фп+і = t и сопряженной ей переменной /„+і. Изменение расширенного набора фазовых переменных описывается системой уравнений с гамильтонианом
//' = /„+l + #o(/i, • • • . /п)+е#і(/і, . . . , /п, фі.....фп, фп+Ь є),
имеющей тот же стандартный вид (23). Д
Предположим, что все частоты дНо/д/j не обращаются тождественно в 0 и что между ними отсутствуют тождественные целочисленные соотношения. Для приближенного описания изменения переменных / в соответствии с принципом п. 1.1 усредним уравнения (23) по фазам ф.
Теорема 10. В гамильтоновой системе с п степенями свободы и п частотами эволюции медленных переменных не происходит в том смысле, что усредненная система имеет вид / = 0.
<1 При вычислении интеграла от dH\/d<fj по /г-мерному тору можно сначала проинтегрировать по переменной ф^ Этот однократный интеграл равен приращению периодической функции Hі на периоде, т. е. нулю. [>
