Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Чтобы сохранить гамильтонову форму уравнений, немного обобщим принцип п. 1.1: будем усреднять также и второе уравнение (23), описывающее изменение углов (фаз) ф. Полученная усредненная система имеет гамильтониан <*?(/, е)=<Ж0(/)+е5М/), <Я?і = <Я,(/,ф,0)>'. Поэтому фазы испытывают равномерное вращение с частотами dSf?ldJ. А
Пример 10. Рассмотрим плоскую ограниченную круговую задачу трех тел (гл. 2, § 5). Массу Юпитера обозначим е и будем считать малой по сравнению с массой Солнца. В этой системе две с половиной степени свободы (две степени свободы плюс явная периодическая зависимость от времени). Переходя в раппомерно вращающуюся барицентрическую1* систему координат, одна из осей которой направлена на Юпитер, а другая
11 Начали — п центре масс системы Солнце—Юпитер.
182 перпендикулярна ей и лежит в плоскости орбиты Юпитера (рис. 39), получаем систему с двумя степенями свободы.
При е = 0 получается невозмущенная задача двух тел во вращающейся системе координат. В ее фазовом пространстве область эллиптических движений расслоена на двумерные инвариантные торы. В качестве переменных действие — угол можно выбрать канонические элементы Делоне (см. гл. 2) L, G, I, g: L = Va1 G = Va(l—е2), а и е — большая полуось и эксцентриситет орбиты астероида, I — средняя аномалия астероида, g — долгота перицентра орбиты, отсчитываемая от направления на Юпитер (рис. 39). Элементы Делоне — это канонические переменные в фазовом пространстве. Их можно использовать и для описания возмущенного движения. Усредним возмущенные уравнения для элементов Делоне по быстрым фазам Ing. Согласно теореме 10 и замечанию к ней, в усредненной системе величины L, G (и, значит, а, е) являются интегралами, а фазы I, g равномерно вращаются с частотами, отличающимися от невозмущенных частот на величины порядка е. Итак, принцип усреднения приводит к следующей картине движения. Астероид движется по эллипсу, который медленно равномерно вращается вокруг своего фокуса (центра масс системы Солнце — Юпитер). Д
Пример 11. Рассмотрим вращение тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Расстояние от точки подвеса до центра масс тела обозначим е и будем считать малой величиной. При е = 0 получаем задачу Эйлера—Пуансо (гл. 4). Переменные действие — угол Л, I2, в, фі, ф2, Ф для этой задачи описаны в [12] (см. также гл. 3, п. 2.3). Напомним, что I2 — модуль вектора кинетического момента тела, а 9 — его вертикальная проекция, О — угол поворота вектора кинетического момента вокруг вертикали, переменные Л, фь фг при заданном I2 определяют положение тела в системе осей, жестко связанной с вектором кинетического момента и вертикалью (рис. 20).
183 В этих переменных гамильтониан возмущенной задачи имеет вид
Н=Нь(1и h)+BHlUu h, Фі. Ф2,в). Так как в—интеграл задачи, то для Ii, ф, получается система с двумя степенями свободы и двумя частотами. Применяя принцип усреднения, получаем, что «действия» Ij—интегралы, а фазы фj испытывают равномерное вращение, близкое к вращению в задаче Эйлера—Пуансо. Из анализа уравнения A = = едНi/(?9 легко следует, что в рассматриваемом приближении изменение угла o близко к равномерному вращению с угловой скоростью порядка е. Итак, получается, что в системе координат, связанной с вектором кинетического момента и вертикалью, тело совершает движение «почти по Эйлеру—Пуансо», а сам вектор кинетического момента медленно прецессирует вокруг вертикали. Д
Часто встречаются задачи с собственным вырождением (гл. 4, п. 2.1) когда невозмущенный гамильтон зависит не от всех переменных «Действие» и, соответственно, некоторые из невозмущенных частот тождественно обращаются в нуль:
H=H0Uu-.., Ir) + zH\Uі ф, е), г<п.
Фазы ф,, />г являются медленными переменными. Согласно принципу усреднения, для приближенного описания эволюции надо усреднить уравнения возмущенного движения по быстрым фазам фі, г. Аналогично предыдущему доказывается следующее утверждение.
Теорема 11. В гамильтоновой системе с п степенями свободы и г<.п частотами переменные, сопряженные быстрым фазам, являются интегралами усредненной системы.
В соответствии с этой теоремой для медленных фаз и сопряженных им переменных при усреднении получается приведенная гамильтонова система с п—г степенями свободы. Если число быстрых фаз лишь на единицу меньше числа степеней свободы (однократное вырождение), то приведенная система имеет одну степень свободы. Следовательно, при однократном вырождении принцип усреднения позволяет приближенно проинтегрировать задачу (как и в невырожденном случае).
Пример 12 (Задана Гаусса). Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел (не плоскую). Массу Юпитера будем считать малой, по сравнению с массой Солнца. Уравнения движения относительно вращающейся системы отсчета, введенной при описании примера 10, в канонических элементах Делоне L, G, в, I, g, О (гл. 2) однократно вырождены — угол g (аргумент широты перицентра астероида) в невозмущенном движении постоянен. Усреднение по быстрым фазам /, o в этой задаче называется усреднением Гаусса. Согласно теореме 2.1, величины L, 0 — интегралы усредненной системы. Изменение G, g после усреднения описывается гамильтоновой системой с
