Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.8. Усреднение в двухчастотных системах.
Рассмотрим двухнастотную возмущенную систему с частотами (0,(/), од (I):
/=е/(/, Ф, е),
V1 = (/) + Чх (/. Ф. е). V2= *2 (/) + 42 (/. Ф. 8). ( ' Будем считать, что ее правые части — аналитические функции. Скажем, что система удовлетворяет условию А, если отношение частот (ui/(u2 изменяется вдоль ее траекторий с ненулевой скоростью:
Скажем, что система удовлетворяет условию А, если отношение частот e»i/<o2 изменяется с ненулевой скоростью вдоль траекторий соответствующей усредненной системы:
L (I) = < <? > • = ((D1 - (D2 ig. j F > q-1 > 0,F = < / > Ф, e-o.
Здесь и ниже ел, Ci — положительные постоянные.
Теорема 6 ([46]). Если выполнено условие А, то различие между медленным движением I(t) в возмущенной системе и J(t) в усредненной системе остается малым в течение времени 1/е:
I J(t)-J(t)\<c2vr, если/(0) = /(0), Oc^c 1/е.
<3 Определим число N=N(b) условием: в возмущении (19) суммарная амплитуда гармоник порядка, большего N, не превосходит е2. Для аналитической функции амплитуда гармоники экспоненциально убывает с ростом порядка. Поэтому N<. <C||lne|. Резонанс fei(oi + fe2a>2 = 0, где k\ и k2 взаимно просты, назовем существенным, если его порядок I fei I + |Jfe21 не превосходит N. На плоскости частот резонансам отвечают прямые с рациональными угловыми коэффициентами, проходящие через начало координат (рис. 35). Прямые, отвечающие существенным резонансам, расположены достаточно редко: угол между соседними прямыми, как можно сосчитать, не меньше, чем C2-1IlneI"2.
Если резонанс не является существенным, то его влияние на движение на временах 1/е практически не проявляется. Влияние существенного резонанса проявляется в узкой полосе вокруг
175 резонансной прямой (рис. 35). Эту полосу назовем резонансной зоной. Как в примере 7, ширина резонансной зоны оказывается порядка Vea*, где оценивает сверху амплитуды резонансных гармоник возмущения; величина аь экспоненциально убывает с ростом |?|.
Условие А показывает, что точка последовательно переходит через нерезонансные и резонансные зоны на рис. 35. В нерезонансной зоне определена замена переменных п. 1.2, приводящая в первом приближении точную систему к усредненной. Из-за остающейся при приведении невязки в нерезонансных зонах набегает суммарное различие между решениями точной и усредненной систем, не превосходящее C3 У є . В резонансных зонах усреднение совершенно не описывает движение. Но суммарная ширина этих зли порядка |/е. В силу условия А, решение находится в этих зонах время порядка 1/Уе. За это время решения точной и усредненной систем могут разойтись лишь на величину, не превосходящую C4]/^. В результате общее расхождение, набирающееся в нерезонансных и резонансных зонах, не превосходит C2 V*- • D>
Условие теоремы 6 можно ослабить. Скажем, что система ^19) удовлетворяет условию А' [123], если выполнено условие А и, кроме того, на каждом резонансе fcioi+ A2^=O отношение частот изменяется с ненулевой скоростью вдоль траекторий системы, частично усредненной с учетом этого резонанса (см. п. 1.1):
^(/) + ("!-?--Y)>,/2C7'>0, (20)
где + а Fk(I, у) —сумма гармоник функции f, за-
висящих от фазы у. Величина |fA| убывает с ростом Поэтому найдется число W0, не зависящее от е, такое, что при |/?|>N0 неравенство (20) вытекает из условия А. Резонансы с
назовем сильными, а остальные резонансы слабыми. Неравенство (20) достаточно проверить для сильных резонан-сов.
Теорема 6'. Если выполнено условие А', то справедливо заключение теоремы 6.
176 <] Как и в доказательстве теоремы 6, надо по отдельности рассмотреть движение в нерезонансных и резонансных зонах. В нерезонансной зоне движение хорошо описывается усредненной системой. Условие А показывает, что точка не застревает в этой зоне. Как и в теореме 6, суммарная погрешность усреднения, набирающаяся в нерезонансных зонах, не превосходит C5Уе. В резонансной зоне определена замена переменных п. 1.3, приводящая в первом приближении систему к частично усредненной с учетом этого резонанса. Из условия А' поэтому вытекает, что застревание в резонансной зоне также невозможно. Время пребывания точки в одной такой зоне имеет порядок ширины зоны, деленной на е. Остальные оценки — как в доказательстве теоремы 6. D> _
Сформулированное в начале этого пункта условие А не препятствует захвату в резонанс. Оказывается, при этом условии суммарный эффект прохождения через резонансы такой же, как эффект отдельного резонанса, описанный в п. 1.7.
Теорема 7 ([101]). Если система удовлетворяет условию А и еще некоторому условию В (выполненному почти всегда), то для всех начальных точек /о, <ро, кроме множества меры, не превосходящей сгУв, различие между медленным движением I(t) в точной системе и движением /(/) в усредненной системе остается малым в течение времени 1/е:
I / (t) — J(t) I < C3Kel Jne [, если /(0) = /(0), Oc^c 1/е.
При любом х > C2 V^ Для всех начальных точек, кроме множества меры, не превосходящей X, выполнено
\l{t)—J (01 < CiVII In сг'х |, если / (0)=/ (0), О < t < 1 /е.
