Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Портрет задачи в исходных переменных I, у на фазовом цилиндре показан на рис. 34. На расстоянии 1 от резонанса витки сепаратрисы отстоят друг от друга на величину порядка е. К сепаратрисе прилегает заштрихованная полоса ширины порядка е3/2 из захватываемых точек. Таким образом, при е-*-0 захватываемые точки действительно стремятся расположиться в фазовом пространстве всюду плотно. Д
Основные явления, связанные с отдельным резонансом, про-
Г
а
5 Г
Рис. 32
Рис. 33
172 Рис. 34
исходят в сУе-окрестности резонансной поверхности, C=COnst. В такой окрестности система (14) может быть приведена к «маятниковой» форме, напоминающей уравнение (16). Это приведение использовалось в ряде работ [95], [10(?, [101], [1311, [174]. Опишем его. Точку на резонансной поверхности будем обозначать а= (аь ..., cr„-i). Точку I в окрестности резонансной поверхности будем характеризовать координатами р, а, где р= (к, и>(1)), а — проекция / на резонансную поверхность. Введем медленное время X=Ijzt и нормированное расстояние до резонансной поверхности г=р/Уе. Обозначим штрихом дифференцирование по т. Получим
Y=r+ Vtax (у, a, V*r), (17)
г'=Р(у, о)4-]/ега2(у, a, V*r), а'= VrSa3(у, а, ]/ег). Функции Р, а.[ имеют по у период 2я. Если в (17) положить е=0, то получится гамильтонова1 > система, описывающая вращение маятника в потенциальном поле при наличии постоянного крутящего момента:
Y' = r, г' =P (у, a), a = const, (Р)У = кд? (/)чф 0. (18)
Эта система, конечно, интегрируема. Движение в окрестности резонанса описывается с помощью ее малого возмущения согласно (17).
Выше рассматривалось применение усреднения для описания дзижения точек, проходящих через резонанс без захвата. Покажем теперь, как использовать усреднение для описания движения точек, захватившихся в резонанс. Воспользуемся уравнениями движения в форме (17). Предположим, что соответствующая «промежуточная» невозмущенная система (18) (маятник) удовлетворяет следующим двум условиям общности
О Тут уместно удивиться. Гамильтоновость полученной системы обнаруживается в результате вычислений и отнюдь не очевидна заранее.
173 положения: на ее фазовом портрете при всех а неустойчивые особые точки невырождены (условие В) и сепаратрисы не соединяют разные особые точки (условие В'). Тогда этот фазовый портрет выглядит аналогично либо рис. 326 (но может быть больше колебательных областей"), либо рис. 32а; последний случай нас сейчас2' не интересует, так как он соответствует отсутствию захвата. При изменении о колебательные области не исчезают, не появляются и не сливаются друг с другом. Выберем одну из этих областей. Введем в ней переменные действие — угол X, X невозмущенного маятника. Изменение величин а, X, % в возмущенном движении описывается обычной одночастотной системой, где роль фазы играет х. Роль времени — т, а роль малого параметра — Уе. Усредняя эту систему по получим уравнения, которые приближенно описывают изменение а, X на временах т порядка 1/Уе (т. е. t порядка 1/е)3). Изменение а характеризует дрейф вдоль резонансной поверхности, а изменение X—амплитуду колебаний около этой поверхности. Скажем, что начальные условия оо, Xo для решения усредненной в колебательной области системы взяты на сепаратрисе, если 2лХо4) равно площади колебательной области при о=о0. Решения с такими начальными условиями описывают движение с момента захвата в резонанс. Аналогично определяются решения, заканчивающиеся на сепаратрисе. Они описывают движение до выхода из резонанса. Полная траектория точки при наличии захвата в резонанс приближенно описывается кривой, склеенной из нескольких гладких участков (рис. 31). Первый участок — траектория обычной усредненной вне резонанса системы до выхода ее на резонансную поверхность; точку выхода обозначим Второй участок — кривая на резонансной поверхности, определяемая той колебательной областью невозмущенного маятника, в которую произошел захват. Эта кривая— о-компонента решения усредненной в нужной колебательной области системы с начальным условием на сепаратрисе при о=о*. Если указанное решение в некоторый момент выходит на сепаратрису (пусть при этом о=а„,»), то имеется третий участок — решение обычной усредненной системы, начиняющееся в точке а*.Из точки а* встречи с резонансной поверхностью может выходить несколько кривых, отвечающих захвату в разные колебательные области (рис. 31). Можно по-
') Внутри колебательных областей системы могут существовать неустойчивые особые точки. Для простоты изложения этот случай рассматривать не будем.
Но все же он очень важен, так как для большинства резонансов после усреднения получится именно ои (см. п. 1.8).
*> Эти уравнения могут иметь невырожденное равновесие с ХФО. Ему соответствует по теореме 3 предельный цикл исходной системы, лежащий внутри петли сепаратрисы.
41 Напомним, что 2яХ— это площадь, заключенная внутри замкнутой траектории невозмущенного маятника.
174 казать, что при достаточно общих предположениях приклеивание одной из этих кривых к первому (нерезонансному) участку описывает движение с точностью 0(Уе|1пе|) для большинства начальных условий. Исключение составляет множество, мера которого при е-»-0 стремится к нулю быстрее любой степени е. Оно составлено из точек, проходящих близко от седел невозмущенного маятника.
