Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
В многочастотной системе общего положения нерезонансных областей нет, так как условие несоизмеримости (для указанных векторов к) нарушается, вообще говоря, на всюду плотном множестве точек. Однако в приложениях иногда возникают задачи, в которых такие области все же имеются. Например, нерезонансные области существуют, если возмущение содержит конечное число гармоник, а частоты независимы.
1.7. Влияние отдельного резонанса. Основные особенности многочастбтных систем связаны с резонансами. В соответствии с принципом усреднения, для описания возмущенного движения вблизи одного выбранного резонанса и вдали от остальных резонансов следует частично усреднить уравнения движения с учетом выбранного резонанса. Это приближение во многих случаях может быть обосновано с помощью процедуры п. 1.3. В настоящем пункте рассматривается получающаяся частично усредненная система. Она имеет обычный вид возмущенной системы, но возмущение зависит от фаз только через одну их целочисленную комбинацию:
/ = е/(/, Y). Y = (*,<Р), (14)
Ф =»«(/) +Sg (/, у). Здесь возможен только один резонанс: (к, ш) =0. Основные эффекты, связанные с влиянием отдельного резонанса, проявляются уже в системе (14). Поэтому ее изучение представляет значительный интерес.
Предположим, что решение соответствующей (14) усредненной по Y системы трансверсально пересекает резонансную поверхность (рис. 31):
"Ри (*• «Отрешение точной системы (14) может вести себя совсем иначе. При некоторых соотношениях между фазами возможен захват в резонанс: точка, попав в окрестность резонансной поверхности, начинает двигаться так, чтобы приблизительно сохранялась возникшая соизмеримость (рис. 31). Для описания такого движения усреднение по у неприменимо, решения точной и усредненной систем расходятся за время 1/е на величину поряд-
170 ка 1. Однако захват в резонанс н такая большая погрешность усреднения возможны лишь для исключительного множества начальных условий, мера которого оценивается сверху величиной порядка Уе. Для остальных начальных условий усреднение описывает движение по меньшей мере с точностью Уе I In еI (при некоторых достаточно общих предположениях).
Рис. 31
Далее, оказывается, что если захват в резонанс происходит, то множество захватывающихся точек при е-»-0 стремится расположиться в фазовом пространстве всюду плотно: в шаре диаметра порядка е имеются как захватывающиеся, так и не захватывающиеся точки. Если, как это бывает в практических задачах, начальные условия известны с погрешностью большей, чем е, то нельзя однозначно сказать, захватится точка в резонанс или нет. Задача приобретает вероятностный характер. Можно утверждать, что вероятность захвата в резонанс мала и при е-*0 стремится к нулю как Уе.
Рассмотрим описанные явления на примере. Сначала заметим, что в переменных /, у система (14) становится одиочас-тотной. Резонансу соответствует обращение частоты в нуль, переходу через резонанс — смена направления вращения у.
Пример 7. Пусть возмущенное движение описывается системой уравнений
/=e(!+astaY—V4/). y=/, a=»const>0 (15)
в области I /1 < 2. Соответствующее усредненное уравнение имеет вид
(1-V4/)-
Дифференцируя уравнение для у по времени, получим Y=e (1-fasin Y-1Z4Y)- Вводя медленное время т=]/Т( и обозначая штрихом производные по нему, приходим к уравнению
Yw=^asinY-1Z4VeY', (16)
описывающему движение маятника с постоянным крутящим моментом и малым трением. Фазовые портреты маятника без
17-1
171 і рения при а<1 и а>1 изображены на рис. 32. В случае а<1 фазовый портрет задачи с малым трением такой же, как без трения. Маятник переходит из обратного вращения в прямое. Время т движения от прямой у'= —1 до прямой у'= = +1 по различным фазовым кривым может отличаться на величину порядка 1. Возвращаясь к исходному времени и исходной переменной /, получаем такую картину. Все точки проходят через резонанс /=0, т. е. захват здесь невозможен. Время прохождения Уе-окре<5тности резонанса для разных траекторий может отличаться на величину порядка 1/Уе. Соответственно, при прохождении_этой окрестности набирается погрешность усреднения порядка Уе.
Для случая а > 1 фазовый портрет задачи с трением изображен на рис. 33. Вдоль сепаратрисы образуется полоса ширины порядка Ve из фазовых точек, для которых маятник переходит из вращения в колебания. Переходу к колебаниям в исходных переменных соответствует захват в резонанс. В незаштрихован-ной области на рис. 33 маятник переходит из обратного вращения в прямое. Для траектории, проходящей на расстоянии 5>е от седловой особой точки, этот переход занимает время порядка I In ? |. Возвращаясь к исходным переменным, видим, что доля порядка У г всех фазовых точек захватывается в резонанс. Составим исключительное множество меры порядка V^ из точек, которые либо захватываются в резонанс, либо находятся в резонансе в начальный момент, либо проходят ближе є от седел. Точки, не принадлежащие этому множеству, проходят V є-окрест-ность резонан:а за время t порядка от XiVe до |1пе|/]/е. При прохождении набирается погрешность усреднения порядка от Ve ДО Ve\ Ine |.
