Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
196 ння сохраняется. Из результатов [1761, [177] вытекает, что при достаточной гладкости возмущения последовательные приближения сходятся на нерезонансном множестве." Требования к гладкости возмущения после первых результатов Мозера постепенно понижались в работах Мозера, Рюссманна (Н. Riiss-mann) и Пешеля (J. Poschel). В [183] показано, что в невырожденном случае достаточно требовать, чтобы возмущение принадлежало классу Cr, г>2п (здесь г-не обязательно целое, так что Cr-пространство Гёльдера).
§ 3. Теория KAM
Теория KAM —это теория возмущений условно-периодиче-ciaix движений гамильтоновых и родственных им систем в целом для бесконечных интервалов времени. Она дает, в частно* сти, строгое оправдание фундаментальному выводу об отсутствии эволюции в таких системах, вытекающему нз эвристического принципа усреднения и формальных процедур интегрирования.
3.1. Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамиль-тонову систему с гамильтонианом Ho(I). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы I = const. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот ш(/) =дН0/дІ. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /=Const называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы:
В невырожденной системе нерезонансные торы образуют всюду плотное множество полной меры. Резонансные торы образуют множество меры нуль, однако оно также всюду плотно. Более того, всюду плотны множества инвариантных торов с любым числом рационально независимых частот от 1 до п—1 и, в частности, торов, на которых все траектории замкнуты.
Невозмущенная система называется изоэнергетически невырожденной, если одна из частот не обращается в нуль, и отношения к ней остальных п—1 частот функционально независимы на уровне энергии /Z0=const. Условие изоэнергетической невырожденности может быть записано в виде
'> Техника последовательных приближений со сглаживанием привела также к новым теоремам нелинейного функционального анализа о неявной функции по Нэшу—Мозеру [177], 1197], [157].
197 det
д-Н. дН„ Ol* Ol OH1 0 Ol v
фО.
В изоэнергетически невырожденной системе на каждом уровне энергии плотны множества как резонансных, так и нерезонансных торов, но, как и выше, первое имеет полную меру, а второе — меру нуль.
3.2. Инвариантные торы возмущенной системы. Рассмотрим теперь возмущенную систему с гамильтонианом
//(/, Ф, е)=Я0(/)+е//,(/, «р. е). (31)
Формулируемая ниже теорема А. Н. Колмогорова [14], [4] показывает, что происходит с нерезонансными торами при возмущении.
Теорема 13. (Теорема Колмогорова). Если невозмущенная гамильтонова система иевырождена или изоэнергетически невырождена, то при достаточно малом гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически с числом частот равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. В случае изоэнергетической невырожденности инвариантные торы образуют большинство на каждом многообразии уровня энергии.
Инвариантные торы, которые строятся в этой теореме, называются колмогоровскими торами, а их объединение— колмого-ровским множеством. Доказательство теоремы основано на сходящейся процедуре исключения быстрых фаз п. 2.2. В.
К общей формулировке теоремы А. Н. Колмогорова можно сделать несколько дополнений.
1°. Теорема справедлива, если невозмущенный гамильтониан аналитичен, а возмущение принадлежит классу Cr, г>2п [183]. (В первоначальных формулировках возмущение предполагалось аналитическим [4]).
2°. Пусть задано число v, удовлетворяющее неравенствам л—К\<1/іГ—1. При достаточно малом возмущении класса Cr частоты движения по колмогоровским торам принадлежат канторову множеству.
Qx= {g : gC-Qcr/?", |(A, g)|>x|*|-"VAeZ"\{0».
Здесь Q — множество значений невозмущенных частот ©(/), а х—величина порядка Уе [184]. Напомним, что мера Лебега дополнения Qx до Q не превосходит величины порядка х.
198 3°. Мера дополнения к колмогоровскому множеству не превосходит величины порядка Уе. Деформация сохраняющегося тора, т. е. его отличие от невозмущенного тора с теми же частотами условно-периодического движения, зависит от арифметических свойств частот. Если частоты принадлежат Qe, б>и (см. 2°), то деформация не превосходит величины порядка е/6<Уе [90], [107], [115J, [1841.
4°. Колмогоровские торы образуют гладкое семейство [90], [115], [184]. Сформулируем это утверждение подробнее. Рассмотрим сначала невырожденный случай. Предположим для простоты, что отображение частот /""(1)(/) —диффеоморфизм. Тогда для возмущений класса Cr, r>3v + 2>3n—1, существует диффеоморфизм
