Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
В. Методы теории KAM. В теории Колмогорова— Арнольда—Мозера (KAM) разработаны сходящиеся методы интегрирования возмущенных гамнльтоновых систем. Эти методы основаны на построении последовательных замен переменных, уничтожающих зависимость гамильтониана от быстрых фаз во все более высоких порядках по малому параметру. Процедуру последовательных замен предложил Ньюком. Современную форму ей придал А. Пуанкаре, который, однако, посчитал процедуру Ньюкома эквивалентом процедуры Линдштедта.
В действительности, как выяснилось в работах А. Н. Колмогорова [14] и В. И. Арнольда [4], [5], процедура последовательных замен обладает замечательным свойством квадратичной сходимости: после m замен невязка в гамильтониане, зависящая от фазы, имеет порядок є2" (без учета малых знаменателей). Такая «сверхсходимость» парализует влияние малых знаменателен и делает всю процедуру сходящейся на некотором «нерезонансном'» множестве.
194 I
Процедуру последовательных замен можно реализовать по-разному. Ниже описывается конструкция В. И. Арнольда, близкая к первоначальному методу Ньюкома.
Рассмотрим возмущенную гамильтонову систему с гамильтонианом
Я(/, <р, е)=Я0(/)+е//,(/, ф, г). (28)
Сделаем симплектическую близкую й тождественной замену переменных /, <р-*7, -ф так, чтобы в новых переменных члены гамильтониана порядка е не зависели от фаз. Такая замена переменных уже была построена в п. 2.2.А при рассмотрении первого приближения для метода Линдштедта. Она задается производящей функцией
J<p + eS(J, ф), S--{Я,„(/, ф, е)}'. (29)
Здесь {•}*— интегрирующий оператор, Hxn (/, ф, е) — сумма гармоник ряда Фурье функции Я,, порядок которых не превосходит целого числа N. Число N выбирается так, чтобы остаток ряда Фурье Rin — H\—HXn по модулю не превосходил е. Новый гамильтониан Ж(1, if, е) имеет вид
(У, ij>, е) = 50о (У, є) + ^30, (У, Ъ е),
(У, е) = Я0(У) + е < Hx ) \ (30)
в250, (У, 6) = |Я0 < У + б*?) - H0 (У)-е^ 1 + + г[нх[/ + еЩ, Ф, fcj — //, (У, ф, e)]+e/?,.v(y, Ф, е).
В правой части последнего из этих равенств надо выразить .ф через ф, / по формулам замены переменных.
Новый гамильтониан выглядит так же, как и старый, но фазы входят в члены порядка е2. Сделаем в полученной системе аналогичную замену переменных. После этого фазы сохранятся в членах порядка є14 (см. (30)). После т подобных замен переменных зависимость от фаз сохранится лишь в членах порядка е2". Напомним, что после замены переменных т-го приближения метода Линдштедта зависимость от фаз остается в членах гамильтониана порядка em+I.
Оценка е2"' указывает формальный порядок по е невязки в гамильтониане. Фактически из-за влияния малых знаменателей невязка может быть гораздо больше.
Пример 16. Рассмотрим описанную выше первую замену переменных в области, где частоты удовлетворяют обычному условию несоизмеримости I (к, ©(/)) \>к\к\-', Оче-
видно
25-2
195 Значение х может изменяться от величин порядка 1 до величин порядка Vz (при к ~ V^ имеем | е ^ | <~ 1 и введенная производящая функция может не определять взаимно однозначного соответствия /, Y+- J, Xj)). При получазм |е2<??,|~е вместо формальной оценки е2. Д
Всю последовательность замен переменных будем рассматривать на нерезонансном множестве, где возникающие малые знаменатели оцениваются снизу величинами cVe|A|-v, где с = = const>0, v = const>n—1, а |/г|—порядок соответствующей знаменателю гармоники. Оказывается, на этом множестве быстрое возрастание порядка невязок по е подавляет влияние малых знаменателей и композиция последовательных замен сходится. Это — центральное в теории KAM утверждение. Следствия из него сформулированы в § 3.
Процедура последовательных замен обеспечивает сверхсходимость и для вырожденных систем, где вырождение, как говорят, «снимается». Это означает, что гамильтониан задачи имеет вид
Я = Яоо(/)+еЯоі(/)+е2Я,(/, <р, е),
где H00 зависит только от г<п переменных «действие», a Hqi — от всех п переменных. В качестве невозмущенного гамильтониана выбирается Яоо+єЯої. В невозмущенной задаче, как и в невырожденном случае, п частот, но г из них порядка 1, а п—г — порядка е. Возмущение в 1/е раз меньше минимальной частоты. Процедура последовательных замен организуется точно так же, как в невырожденном случае. Оказывается, она сходится на соответствующем нерезонансном множестве [5].
Выше предполагалось, что возмущение Н\ — аналитическая функция. Если Я і имеет конечную гладкость, то описанная процедура последовательных замен приводит к «потере производных»: в каждом приближении возмущение имеет меньше производных, чем в предыдущем. Из-за этого процедура обрывается после конечного числа шагов. При конечной гладкости возмущения Мозер предложил модифицировать процедуру, используя технику сглаживания, восходящую к Нэшу (J. Nash) [179]. Как известно, гладкую функцию можно с любой точностью приблизить аналитической; если функция периодична по некоторым переменным, то приближение можно выбрать в виде тригонометрического многочлена по этим переменным. Пусть HIV в выражении для производящей функции замены переменных первого приближения (29) — аналитическая функция, являющаяся тригонометрическим многочленом по фазам и приближающая Н\ с точностью е. Такая замена переменных исключит из гамильтониана фазы с точностью до членов порядка е2. В следующих приближениях поступим аналогичным образом. При такой процедуре гладкость возмуще-
