Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
2) Действительно, в линейных системах частота не зависит от амплитуды.
167 <] Замена переменных первого приближения процедуры п. 1.2 строится по формуле
/-/ + «(/, J-Za^Sw. (12)
Коэффициенты Фурье ft, аналитической функции f экспоненциально убывают с ростом порядка гармоники: |М< <с3ехр(—C4_1|A;|). Знаменатели в формуле (12) из-за сильной несоизмеримости частот убывают лишь степенным образом. Поэтому ряд в (12) сходится и определяет близкую к тождественной замену переменных. Дальнейшее доказательство — точно такое, как для теоремы 1.1.0
Замечания. 1. Из доказательства видно, что результат теоремы останется справедливым, если возмушенне имеет конечную, но достаточно высокую, гладкость по фазе; тогда коэффициенты Фурье возмущения убывают степенным образом с достаточно большим показателем степени. Нетрудно проверить, что хватает наличия v + m+1 производных.
2. Из доказательства видно также, что результат останется справедливым, если условие сильной несоизмеримости (11) выполнено только для номеров к, входящих в разложение Фурье возмущения f. А
Если вместо (11) выполнено более слабое условие несоизмеримости (k, са)#0 при feez»\{0}, то усреднение все равно применимо для описания движения. Однако точность может быть хуже, чем е (например, Уе или 1/|1пе|). Именно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Для любого tj>0 существует єо=єо(т)) такое, ЧТО при 0<Е<ео выполнено
|/(/) — /(/)|<Т), если /(0)=/(0), OsSfsSl/e.
Доказательство см. в [9].
Для систем с постоянными несоизмеримыми частотами имеются многочисленные результаты о существовании интегральных многообразий [97]. В частности, если усредненная система имеет равновесие или периодическое решение, и вещественные части характеристических показателей линеаризованной около него системы отличны от нуля", то точная система имеет близкий к нему по медленным переменным инвариантный тор (соответственно т- или т+ 1-мерный). Даже в аналитической системе этот тор, как правило, не аналитичен ни по е, ни по фазовым переменным (см. Предложение 1 и пример 6), однако процедура исключения быстрых переменных позволяет построить для него асимптотическое по е разложение.
При анализе движения на торе, рождающемся из равновесия усредненной системы, приходится различать случаи, когда
'> В случае периодического решения — вещественные части всех показателей, кроме одного, равного нулю.
168 в уравнениях (2) возмущенного движения g=0 (т. е. возмущение квазипериодично по времени) и 0. Если g = 0, то движение на торе условно-периодично с вектором частот со [53]. Если цфО, то характер движения может быть другим. Например, для двумерного тора он определяется числом вращения Пуанкаре аналогично описанному в пункте 1.4 [89]. Если невозмущенные частоты рассматривать как параметры задачи, то в аналитической системе для любого вектора с сильно несоизмеримыми компонентами и^bRm и любого є можно подобрать невозмущенные частоты <й = со!|.+ еД (е, со*) так, что движение на рассматриваемом торе условно-периодично с вектором частот (0,,.(53]. Здесь Д(е, (Orf.) —аналитическая функция от е. Дело в том, что при подходящем выборе поправки Л можно аналитической 2л-периодической по фазам близкой к тождественной заменой переменных I, ф^ привести уравнение для фазы к виду 1()=(0^.. Отсюда следует высказанное утверждение о движении на торе.
Системы с постоянными частотами являются важным частным случаем систем в стандартной форме Боголюбова:
x=zA(t, X, е), xbRp,
где функция А предполагается удовлетворяющей условию равномерного среднего: равномерно по х существует
т
Iim A(t,x,0) dt = A0(x).
г-оо т j
Действительно, вводя в системе с постоянными частотами отклонение от равномерного вращения |=ф—(о/ и обозначая х= = (/, I), придем к уравнениям в стандартной форме. Условие равномерного среднего здесь выполнено, так как A (t, х, е) — квазипериодическая функция времени t.
Принцип усреднения Боголюбова [8] состоит в том, что что вместо исходной системы в стандартной форме рассматривается усредненная система
у = гА0(у).
Многие результаты об усреднении в системах с постоянными частотами (в том числе теорема 5 и теоремы о рождении условно-периодических движений из равновесий и периодических движений усредненной системы) могут быть обобщены иа системы в стандартной форме [8].
1.6. Усреднение в нерезонансной области. Рассмотрим многочастотную возмущенную систему (2), в которой частоты зависят от медленных переменных: ю = (о(/), IbB. Назовем область В нерезонансной в первом приближении теории возмущений (или просто нерезонансной), если для всех IbB выполнено условие сильной несоизмеримости:
17-2 \(k. o(/))|>c-4fe|-v
(13)
при некоторых постоянных с, V и для всех целочисленных векторов кф Э таких, что гармоника с фазой (k, <р) входит в разложение Фурье возмущения f из правой части системы (2).
Если область В нерезонансная, то, аналогично теореме 4, усреднение применимо и гарантирует точность порядка е на временах порядка 1/е. Если условие (13) заменить более слабым условием несоизмеримости (к, т(1))ф0, то, аналогично теореме 5, усреднение также будет применимо, но точность может ухудшиться.
