Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Найденные канторо-окружности, по-видимому, неустойчивы. Это предположение основано на следующем рассуждении. Пусть — точка разрыва функции hq. Тогда интервалы (A,(o„:+2nv/—0), +2nv/+0), /=0, ±1, ..., являются
«дырками» в канторовом множестве 2 на окружности; концы интервалов принадлежат S. Следовательно, эти интервалы не пересекаются. Поэтому их длины стремятся к нулю при /-> ->±оо. Значит, при /->±оо стремится к нулю и расстояние между точкамиh(Q*+2nvj—0), А(Ф* +2.-п7 + 0),принадлежащи-
210 ми канторо-окружиости 2. Следовательно, при движении вдоль канторо-окружности происходит сжатие, а поперек, соответственно, растяжение (в силу сохранения объема). Это —признак неустойчивости.
Открытие канторо-окружностей, по-видимому, объясняет следующий результат численного исследования рассматриваемых отображений: точка может в течение большого числа итераций двигаться в области, ограниченной, казалось бы, инвариантной кривой, а затем за относительно небольшое число итераций перейти через нее и начать двигаться по области с другой стороны от этой кривой. Дело в том, что хотя канторо-окружность не разделяет плоскость, она может представлять собой нечто вроде частого забора, который фазовой точке не так легко преодолеть. Поэтому точка должна долго двигаться вдоль этого забора, прежде чем она проскочит в какую-нибудь щель. Численно этот процесс подробно исследован в [167].
3.7. Приложения теории KAM. Теория KAM во многих классических задачах механики и физики дала строгое обоснование выводам, которые ранее были получены с помощью эвристического принципа усреднения и формальной теории возмущений. Вот наиболее известные (см. [6], [30]) примеры:
— если в задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (пример 11) кинетическая энергия тела достаточно велика по сравнению с потенциальной (в начальный момент времени), то длина вектора кинетического момента и его наклон к горизонту вечно остаются вблизи своих начальных значений (в предположении, что начальные значения энергии и момента не близки к таким, при которых тело может вращаться около средней оси инерции); при большинстве начальных условий движение тела будет вечно близко к комбинации движения Эйлера—Пуансо с медленной азимутальной прецессией;
— в плоской ограниченной круговой задаче трех тел (пример 10) при достаточно малой массе Юпитера величина большой полуоси и эксцентриситет кеплерова эллипса астероида будут вечно оставаться близкими к своим начальным значениям (если в начальный момент этот эллипс не пересекал орбиту Юпитера); при большинстве начальных условий движение вечно близко к кеплеровскому движению по эллипсу, медленно вращающемуся вокруг своего фокуса;
— в задаче п тел (пример 13) при достаточно малых массах планет бблыпая доля области фазового пространства, соответствующей невозмущенному движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. пример 13);
— большинство геодезических на близкой к трехосному эллипсоиду поверхности колеблется между двумя замкнутыми линиями, близкими к линиям кривизны поверхности, всюду
25-1
211 плотно заполняя кольцо между ними; это кольцо есть проекция на конфигурационное пространство (т. е. рассматриваемую поверхность) инвариантного тора в фазовом пространстве, который заполняет траектория задачи;
— существует магнитное поле, большая часть силовых лилий которого в окрестности заданной окружности обматывает вложенные друг в друга тороидальные поверхности, охватывающие эту окружность; остальные силовые линии вечно зажаты между указанными тороидальными поверхностями; при малом возмущении поля большая часть этих поверхностей не разрушается, а лишь немного деформируется (такая конфигурация поля используется для удержания плазмы в тороидальных камерах).
Утверждение об устойчивости равновесия системы с двумя степенями свободы в общем эллиптическом случае также имеет многочисленные приложения.
Пример 18 (Устойчивость треугольных точек либрации)- Плоская ограниченная круговая задача трех тел во вращающейся системе координат примера Ю имеет две степени свободы. Треугольные точки либрации — ее положения равновесия [94]. Эти равновесия, как было известно еще Лагран-жу, устойчивы в линейном приближении, если P < P1 =
= '/s (l—^ Y69 J »0.03852, и неустойчивы в противном случае
(здесь р / (1 — р) — отношение массы Юпитера к массе Солнца, и мы считаем, что р<'/2)- Оказывается [148], резонансам порядка <4 соответствуют значения
p = p, = V2(l —-?- >ЛТ883j» 0.02429,
p=p3=v2 (і-^5-^213)^0.01352.
Далее оказывается [148], что условие изоэнергстической невырожденности нарушается при единственном значении р = рс» »0.0109 (сначала было доказано, что задача вырождена лишь в конечном числе точек [92], а затем было вычислено критическое значение Цс).
Согласно результату п. 3.3, при 0<p<pi, р=^р2, рз, ц« треугольные точки либрации устойчивы. В [94] показано, что при р = р2 и P = Цз имеет место неустойчивость, а при р = р<- — устойчивость. В [119] показано, что при р = рі имеется устойчивость. Л
