Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. Конечные абелевы группы
1. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примарних абелевых групп. В этом и следующем параграфах мы изложим теорию конечно порожденных абелевых групп, причем бу-
276
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
дем пользоваться аддитивной записью и соответствующей терминологией. Действие в группе будем называть сложением и обозначать знаком +, нейтральный элемент назовем нулем группы и обозначим 0, вместо обратного элемента будем говорить о противоположном, вместо степеней — о кратных, вместо термина прямое произведение будем говорить прямая сумма и для обозначения прямой суммы будем использовать знак Ф.
Пусть G — конечная абелева группа и а — ее элемент. Натуральное число m такое, что та = 0, назовем аннулятором элемента а. Среди аннуляторов найдется минимальный, именно, порядок элемента а.
Предложение 1. Все аннуляторы элемента а єй делятся на его порядок.
Действительно, пусть m — порядок элемента а и тх— какой-либо другой аннулятор. Тогда mi = mq + г, O^rs^m — I, и га = = іща— qma = 0, и, следовательно, г = О, в силу минимальности аннулятора т.
Аннулятором группы называется натуральное число, при умножении на которое аннулируются все элементы группы. Порядок группы принадлежит к числу ее аннуляторов. Среди аннуляторов группы существует минимальный и все аннуляторы на него делятся.
Предложение 2. Пусть m — аннулятор группы Gum = = тхт2, причем т\ и т2 взаимно просты. Тогда G разлагается в прямую сумму двух подгрупп, одна из которых аннулируется числом гп\, другая — числом т2.
Доказательство. Пусть Gj — множество всех элементов группы G, которые аннулируются числом т\, и G2 — то же для т2. Ясно, что Gi и G2- подгруппы G. Ввиду взаимной простоты mi и т2 найдутся целые числа щ и и2 такие, что mi«i + т2и2 = 1. Пусть а є G. Тогда а = тхи\а -\- т2и2а. Первое слагаемое тхи\а принадлежит G2, ибо m2m\U\a = 0. Соответственно второе принадлежит G]. Таким образом, G = Gi + G2. Чтобы убедиться в том, что сумма прямая, остается установить, что Gi П G2 = 0. Пусть а є є Gi П G2. Из равенства а = тхиха + т2и2а заключаем, что а = 0, ибо равны нулю оба слагаемых правой части.
Заметим, что из самого построения групп G] и G2 следует, что они определены однозначно.
Предложение 3. Пусть аннулятор m группы G разлагается в произведение m = mxm2 ... ти попарно взаимно простых сомножителей. Тогда G разлагается в прямую сумму подгрупп с ан-нуляторами mi, m2, m*.
Непосредственно следует из предложения 2.
Конечная абелева группа называется примарной, если ее аннулятор есть степень простого числа.
Теорема 4. Конечная абелева группа разлагается в прямую сумму примарных подгрупп.
конечные абелевы группы
277
Следует из предложения 3, в применении к каноническому разложению аннулятора:
т = р->ра2> ...ракК
2. Подгруппы циклической группы.
Предложение 5. Все подгруппы конечной циклической группы порядка т цикличны, и их образующими являются элементы вида ad, где а — образующий данной группы, d — делитель числа т.
Доказательство. Пусть G— циклическая группа порядка т с образующим а и Я— ее подгруппа. Пусть d — наименьшее натуральное число, при котором da є Я. Тогда т делится на d, ибо если т = dq -f- г, 0 г ^ d— 1, то га = та — qda = —qda є Я, и, в силу минимальности d, г = 0. Если ka єе Я, то k делится на d, ибо если k = dq\-\-r\, 0 ^ Г\ ^ d—1, то r\a = ka — qxda ^ H и r\ = 0. Таким образом, da—образующий группы Я. Порядок Я равен m/d. При любом d, делящем т, элемент da порождает подгруппу Я порядка m/d.
В частности, если т = ра, то все подгруппы группы G образуют цепочку G ZD G] ZD G2ZD ... э Ga-i =) 0, где Gi — подгруппа, порожденная р'а.
3. Разложение примерной абелевой группы впрямую сумму при-марных циклических групп.
Предложение 6. Пусть Я — подгруппа абелевой группы G и из классов смежности G по H можно извлечь по одному представителю так, что они образуют группу F (очевидно, изоморфную факторгруппе G/H). Тогда G = Я Ф F.
Доказательство. H-\-F = G, ибо в Я -f- F присутствуют все элементы веех классов смежности. Я П F = 0, ибо при естественном гомоморфизме G на G/H все элементы H f] F отображаются в нулевой класс факторгруппы, и элемент группы F, принадлежащий нулевому классу, может быть только 0. Следовательно, по теореме 2 § 3, G = HQF.
Теорема 7. Примарная конечная группа G может быть разложена в прямую сумму примарных циклических групп.
Доказательство проведем посредством индукции по порядку группы. Базу для индукции составляют группы простого порядка, ибо они цикличны.
Пусть ра' — минимальный аннулятор группы G. Тогда найдется элемент Oi є G, порядок которого равен ра'. Пусть Я, — циклическая подгруппа, порожденная элементом ах. Если Hx совпадает с G, то вопрос исчерпан, G сама циклична. Пусть H1 не совпадает с G. Рассмотрим факторгруппу G/Яь Она примарна, ее минимальный аннулятор равен р$ при ? ^ ах, и ее порядок меньше порядка G. Согласно индуктивному предположению она является прямой суммой циклических групп Я2, .... Hk с образующими o2, ak. Постараемся выбрать из классов смежности такие представители
