Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Когда речь идет об обширных классах объектов, всегда приятнее иметь дело с какими-либо стандартными представителями из
•270
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
этих классов. Здесь роль таких представителей играют несократимые слова. Слово в алфавите T называется несократимым, если в нем не стоят рядом буквы а,- и U1.
Теорема 1. В любом классе эквивалентных слов существует одно и только одно несократимое слово.
Доказательство. То, что для любого слова найдется несократимое, ему эквивалентное, очевидно: в исходном слове нужно шаг за шагом, в каком-либо порядке, сокращать соседние «двойники» a«, ai. При каждом сокращении длина слова, т. е. число составляющих слово букв, уменьшается на две единицы, так что процесс сокращения должен закончиться на несократимом слове после конечного числа сокращений.
Остается доказать, что различные несократимые слова не могут быть эквивалентны. Мы докажем это от противного. Пусть даны несократимые слова Л и В, и допустим, что они эквивалентны, т. е. что существует конечная последовательность слов А = A0, Аи A2, Am-i, An = B таких, что каждое последующее слово получается из предыдущего вставкой или сокращением. Так как А и В несократимы, переход к A0 к Ai может быть только вставкой, переход от Am-i к Am = В —- только сокращением. Полной высотой перехода от А к В назовем сумму длин всех промежуточных слов.
Пусть Ai — слово наибольшей длины среди слов A0,Ai, ... Am-i, Ат. Оно,не крайнее, ибо длина Ai больше длины A0 и длина Am-i больше длины Ат. Поэтому у слова Ai имеется как сосед слева At-i, так и сосед справа Л(+1. Переход от Л,-_і к A1 должен быть вставкой, переход от Ai к Л,-+і— сокращением. Здесь может представиться несколько случаев:
1. При переходе от At-i к A1 вставили ЪЬ и при переходе от Ai к Аі+i вставленную пару сократили. В этом случае Ar-< = Аі+І, так что мы можем исключить из перехода слово Л, и «склеить» Ai-i и Ai+i.
2. При переходе от Ai-i к Л, вставили ЬЬ, и справа от этой вставки находился элемент Ь, а при переходе от Л,- к Л<+1 в тройке соседних букв ЬбЬ сократили ЬЬ. В этом случае опять A^x = = Д-+і. То же самое будет, если вставить bb направо от b и в тройке БЬВ сократить ЬЬ.
3. При переходе от Ai-i к A1 вставляется ЪЬ и при переходе от Ai к Ai+i сокращается сс, и эта пара не имеет общих элементов со вставленной ЬЬ. Тогда переход от Лг_, к A1+I можно сделать по-другому. Буквы с и с не были вставлены при переходе от Ai-i к Ai, и следовательно, сс уже присутствовало в Ai-i. Можно было сначала сократить сс, получив слово Л'., а затем вставить Ьб. Длина промежуточного слова А\ на 4 меньше длины слова A1, так что полная высота перехода от Л к В уменьшилась на 4.
Во всех случаях полная высота перехода может быть уменьшена. Это невозможно, ибо среди переходов от Л к В должен
СВОБОДНАЯ ГРУППА
271
существовать переход с наименьшей полной высотой. Следовательно, эквивалентные несократимые слова равны, что и требовалось доказать.
3. Конечно порожденные группы как гомоморфные образы свободной группы.
Теорема 2. Любая конечно порожденная группа с п образующими есть гомоморфный образ свободной группы с п образующими.
Доказательство. Пусть щ, U2, Un — система образующих группы G. Рассмотрим свободную группу сначала как полугруппу слов в алфавите оь а2, ап, a\, а2, йп. Каждому слову ... at .. .aj ¦.. сопоставим элемент ... и( ... иг1... группы G. Ясно, что произведению слов соответствует произведение элементов группы G. Покажем, что эквивалентным словам соответствуют одинаковые элементы. Действительно, вставке а,й,- в слово соответствует появление сомножителя и.и~1, равного единице, и сокращению пары a,a« соответствует исключение из произведения U1U^ = 1. Тем самым, построенное отображение есть гомоморфизм свободной группы на группу G.
Если некоторое слово ... Ui ... aj ... из свободной группы входит в ядро, то соответствующий элемент ... U1 ... и~' ... группы G равен 1, т. е. элементам ядра гомоморфизма свободной группы в G соответствуют соотношения между образующими группы G.
4. Задание группы образующими и соотношениями. Теорема 3. Пусть дан алфавит oi, ..., ап, au an и слова
в этом алфавите
W1 = Vn ... o,v W2 = O21 ... o2ikj> ™m = oml • • • vmkm.
Здесь uij обозначают буквы алфавита. Тогда существует группа
Gen образующими щ, M2.....ип, в которой выполнены соотно^
шения
г, = хп.. .X1^ = 1, г2 = х21...дг2)^ =г 1, ..., zm = х!пХ.. •XnXkn = 1,
еде хц = Us, если vtj = as, и xtj = uj\ если Vn = at. Среди групп, для образующих которых выполнены указанные соотношения, существует группа G, в которой все соотношения между образующими являются следствиями данных соотношений, и эта группа обладает свойством универсальности — любая группа, в которой выполнены предписанные соотношения, является гомоморфным образом группы G.
Прежде чем доказывать теорему, необходимо выяснить, что понимается под следствиями из данных соотношений.
Мы считаем, что если Z1 = Xn ... xik = I есть соотношение, то
соотношение zj'=xjkx ... X^11= 1 является его следствием. Если
